物質と重力場の間のエネルギー保存則:擬テンソル、ハミルトニアン拘束条件、フリードマン方程式

一般相対性理論は、アインシュタインによって「等価原理」を基にして構成されました。自由落下（自由運動）をする物体に対する局所慣性系では重力は消えるというのが、その等価原理です。この原理から、重力場のエネルギーや運動量の密度、も局所慣性系ではいつも零になることが要請されます。このため、物質のエネルギー運動量テンソルとは異なり、重力場のエネルギー運動量は「擬テンソル」という性質を持つようになります。

この変な重力場の性質のために、物質と重力場で力をやりとりするときのエネルギーと運動量の保存則も、その形は一意的に定まらないのです。この非一意性は、人類の理解の不十分さによるものではなく、重力の本質に根ざしているものです。

まず曲がった時空における物質のエネルギー運動量テンソルＴに対する、共変的な局所保存則の式を書いてみましょう。

アインシュタインは、彼の「アインシュタイン方程式」を使って、この式を変形することで

という、今では「アインシュタイン擬テンソル」と呼ばれる量について

という保存則の式を得ました。この（00）成分（つまり、時間-時間成分）の両辺を空間体積で積分すると、重力場のエネルギーと物質のエネルギーの合計が時間変化しないことがわかります。これは１つの「重力場エネルギー＋物質エネルギー」の保存則です。

ところが同じ（１）式から出発して、

という「ランダウ-リフシッツ擬テンソル」という量に対する下の保存則も導かれてしまいます。

この(00)成分を体積積分すれば、重力場と物質の間の、別なエネルギー保存則が出てきます。（３）式と（５）式のどちらも数学的に正しいし、それだけでなく、物理的にもどちらが優位とは言えません。重力場のエネルギー運動量擬テンソルは、もともと１つに定まらないのです。

また重力場と物質の間の「エネルギー運動量保存則」として連想されるものとして、正準形式におけるハミルトニアン拘束条件と運動量拘束条件があります。まず一般相対性理論の正準形式を、いわゆるＡＤＭ分解をした次の計量テンソルから考えてみます。

ここで３次元空間断面を４次元時空に埋め込むときの外曲率テンソルを

で定義します。すると３次元空間計量に対して正準共役な３次元運動量テンソルは

となっています。これらの量に対して、時間推進変換と空間推進変換を含む、一般座標変換の生成子Ｇ[ξ]は

で与えられます。ここで右辺第２項は時空の境界項になっていて、

となります。

一般相対性理論は一般座標変換に対するゲージ理論ですので、対応する第１種拘束条件が存在します。その１つが

で与えられる「ハミルトニアン拘束条件」です。また

という「運動量拘束条件」も出てきます。このため時間的に変化しない（９）式の保存量の値は、（１０）式の境界項B[ξ]だけで与えられます。そして重力は長距離力ですので、この境界項は消えません。これが古典的な一般相対性理論のホログラフィ性です。このB[ξ]は、漸近的対称性をもつ境界において非零の様々な値をとれます。漸近的ミンコフスキー時空では、B[ξ]は、重力場と物質の合計のエネルギー、運動量や角運動量の値も与えます。

さてここで、一様等方な宇宙を記述するFLRW計量の場合に、ニュートン力学と同じような形のエネルギー保存則を習ったことを思い出す人が居るかもしれません。それは宇宙の重力場のエネルギーと物質のエネルギーの和が常に零であるという「フリードマン方程式」です。この零となっているエネルギーは、正準形式での生成子G[ξ]ではありません。それはハミルトニアン拘束条件を書いているにすぎないのです。

まずADM分解された４次元計量テンソルで一様等方宇宙モデルを考えてみます。

この場合の（１１）式のハミルトニアン拘束条件は、３次元空間曲率が定数ｋを用いて

と書けることも使って、

と変形されます。kの値は、空間曲率が正の場合にk=+1、負の場合にk=-1、そして平坦な場合にはk=0と固定されます。この式でラプス関数N(t)を1にしたものが、フリードマン方程式です。本来は時空の各点ごとに要請された（１１）式の第１種拘束条件なので、フリードマン方程式は、本当の意味での重力場と物質の間のダイナミカルなエネルギーの保存則とは解釈しづらいものなのです。フリードマン方程式では、「重力場と物質のエネルギーの合計値」は、零以外の値はとれない固定値なのです。

まとめると、重力場のエネルギーや運動量には、等価原理を起源とする擬テンソル性があります。重力場には、唯一となるエネルギーや運動量の密度の定義は存在しないのです。ハミルトニアンや運動量の拘束条件はありますが、それは対象全体のダイナミカルな性質を表現しません。時空の境界において漸近的対称性がある場合には、「重力場エネルギー＋物質のエネルギー」の値が様々な定数をとる、ダイナミカルな保存則が現れます。この性質を通じて、我々は時空の本質の一部を捉えることができるのです。境界項だけで全体の保存量の値が決まる、この古典時空の「ホログラフィ性」は、量子重力理論の「ホログラフィ原理」にも説得力を与えるのです。そしてさらに笠-高柳公式を通じた「量子情報からの時空の創発」というシナリオの信憑性も高めています。