入試数学の勉強法　総論

対象読者

数学をこれから勉強するという方、数学の勉強の仕方がわからない、数学を勉強しているけどなかなか結果として出てこない方、今回の記事はそんな方々が対象です。内容を一般向けにするために、内容をかなり分離して軽くしました。
※もとの8万から6,000まで減らしました

数学や物理はもとからできる人だけができる、できない人は置いてけぼりの方法がかなり目立ちます。本質を理解すれば問題も解けるもその筆頭です。こういった一部の方だけできる方法をおしつけられて、いざしてみるとできないという事態が大量発生しています。某数学の講座の被害者も本当に多いです。

私はこのような正論風暴論は非常に嫌いです。諦める前にまずこの記事を読んでみてください。

結果が出ないのは自分が悪いのではなく、本質学習笑を筆頭に一部の人しかあてはまらないおかしなやり方をしているだけかもしれません。

本記事では丸暗記と暗記は明確に区別しています。ただ暗記と言っている時は、必要な理解を済ませた上で記憶しているという意味で解釈してください。せっかく丸暗記という言葉があるので暗記と丸暗記は区別して使っていきます。

そもそも暗記に理解を含まないのはかなり不自然です。詳しくはこちらで。

沢山のスキありがとうございます。二日でいただくことできました。励みになります！

数学関連記事

本記事の軽量化を目的として項目を記事として一部お引越ししました。

YouTubeの一部の見せ物系授業しか発展しない理由でもありますが、概論系の方が受けがよく具体的な話をしてしまうと受けが悪くなってしまうので、具体的な方法についてはこちらで扱います。

もともとこれら全てがこの記事に入っていたので、かなり重かったです。

関連記事の紹介です。

他の勉強法についてはこちらからご覧ください。

数学の勉強法についてはこちらにまとめています。

図形の性質についてのまとめを書きましたのでよければ除いてみてください。

こちらで問題の解説もはじめました。

入試の立ち位置

数学は入試において英語に並び、合格を勝ち取る上で非常に重要な科目です。数学が得意になれば周りと大きく差をつけることができますが、数学が苦手なままだと周りから差をつけられるだけでなく、他の科目の勉強時間まで圧迫し出します。そうなると数学以外の他科目の勉強時間が足りなくなってしまい、全体の点数が伸び悩んでしまうという事態に陥ってしまいます(一度受験を経験した方はよくわかると思います)。これを踏まえると、数学が受験に置いて、いかに重要な科目であるかがご理解頂けると思います。

難関大では得意になってもあまり周りと差はつけることはできません(突き抜けてる場合は除きます)。しかし、難関大でも数学は重要です。不得意なままで数学があまり得点できない場合、その分他の科目で点数を取らないといけないのですが、難関大学では高得点をとることが難しいので、他の科目で数学の取れなかった分をカバーするということが極めて難しいです。そのため、付けられた点差を他で埋めることができず、差がそのままになりかなり不利な戦いになってしまいます。結局数学の重要性は難関大でも変わりません。

数学の勉強法というのは他の科目にも応用できることばかりなので、数学の勉強をすることで、科目全体の学習の質を上げる事に繋がります。本記事を読んで学習全体の質、効率を高めて欲しいです。

数学で大事な力

数学で大事な力というと、大きく7つ存在します。具体的に挙げると、計算力、翻訳力、状況把握能力、スタート力、スタートからゴールまでの到達力、テーマ毎の定石力、答案作成能力などです。これらはどれも大切な力ではありますが、計算力と翻訳力、テーマ毎の定石力に関しては、その中でもとりわけ大事ですので、ここではこの三つを、重点的に書いていきたいと思います。

1.計算力

計算練習は非常に大事です。計算ミスで本番何十点も飛んでいきますし、同じ時間で解ける問題数も変化するので、試験時間の楽さや勉強の効率も圧倒的に変わります。点数に関しては模試や定期テストなどで既に似たような経験をしている方もいるのではないでしょうか。そして、当たり前ですがどんな問題も結局は計算問題に帰着されるので、計算ができなければ元も子もありません。

計算力が高ければ、本番、時間をかけるべきところにかけられるようになりますし、計算自体に負荷がかかっていないので題意把握、問題の見通しなど頭を使うべき所に使えるようになり、点数を最大化できるようになります。
※基本的にケアレスミスは、自分が処理できる以上のことをした時に発生するものなので、計算力を高めて、一つ一つの処理を軽くしておけばミスは自然と減らすことができます。

ではどのように鍛えるのかという話になります。

計算力の練習は、英単語や一問一答などと同じで継続して練習してください。可能であれば毎日20分を目安に取り組んで欲しいです。計算力はつけるのは大変なのに、つけても練習を続けていないとすぐに落ちてしまいます(英語長文と似ています)。加えて、これから難しい問題にチャレンジしていくと、計算している時間より考える時間の方が長くなってきます。要するに、計算力をつける機会がどんどん減っていくのです。

問題も難しくなってきて解ける問題も減ってくる(計算の機会が減る)ので、意識的に時間をとり継続してトレーニングするようにしてください。計算だけのためにするともったいないので、復習や最初の勉強のとっかかりとして、していただくといいです。

計算練習をする時は時間の圧をかけること、方針の選択、工夫の仕方、スピード、正確性、ミスの収集なども意識して行うようにしてください。高校で新しく学ぶ計算は工夫できるものも多く、スピードや正確性にかなり影響がでてきます。工夫の仕方についてはあまり習わないとおもいますので、授業をよく聞いておいてください。

昨今は制限時間が厳しいものばかりです。ただできるだけではなく、素早くそつなくできることにこだわってください。もちろん何も考えず(答えを丸暗記してただ吐き出す)に早くするのはNGです。

計算についてはこちらでさらに詳しく扱っているので、気になる方はこちらも参照してみてください。

2.翻訳力(分析力)

翻訳力とは、式→(日本語、図、状況)→式のように、式を日本語や図、状況に、また、日本語や図、状況を式に落とし込む、翻訳する力のことです。式や図、日本語、状況の特徴を分析し式に落とし込む能力と言ったほうが分かりやすいかもしれません。数学の表現方法は数式ですので、いかに式の形に落とし込めるかが勝負になります。したがって、数学を学習していく時は、その式からどのような情報が読み取れるのか(式からの方向性)、その日本語、図、状況はどう定式化できるのか(式への方向性)、を意識して学習していくことが必要になります。

そのため図形問題は定理や公式毎ではなく、特徴的な図形、有名な構図毎に、定理や公式定石を整理しておく必要があります。翻訳の中では特に条件からの立式が大切です。

3.テーマ毎の定石力

テーマ？って何だと思われる方がいらっしゃるかもしれません。分かりやすい所でいうと問題集の問題の上の載っているタイトルのようなものです。

定石とは、目の前にある問題をある思考法の一つの具体例として認識できるように、その問題に含まれるポイントを抽象化して使える形でまとめ直したものになります。

人によっては抽象論、思考の型、思考の道具、思考の癖、思考パターン、思考の癖付け、武器、道具、ルール、ポイント、鉄則、定石、発想法、思考法、お作法と呼ばれているものです。色んな呼び方をされていますが、基本的にどれも同じものを指しています。色んな言葉で言ってしまうと混乱してしまうので、ここでは定石、思考法、ポイントという言葉で書いていきたいとと思います。

使える形でいうのは、ポイントを単元毎ではなく現象ベースでテーマ毎に作り、ポイントを使う優先順位、使う場面、使い方、メリット、デメリット、注意点、使いこなしやすくなるための意識付けなども含めた形のことです。

まとめる際は、基本は、特徴的な構造と、その分析法の形で、〜見たら〜する、〜の時に、〜するという使用場面を明確にした形でまとめていきます。見た目は違っていても構造は共通しているからです。仮にこういった明確に使用場面が決まっていないときは、せめて目安や傾向として、こういう時に使うことが多い、こういう時に強いなどを添えていきます。

ここに入る内容は、問題経験からくるものもありますが、多くは基本原理を問題を解きやすくなるように調整したものなので、定石の作成にも活用にも基本原理の理解は非常に重要になってきます。基本原理か、定石かという二者択一ではありません。どちらも必要不可欠なものです。

ほとんどの場合、基本原理から作成されているものではカバーできないものを、問題経験から作成されているものでフォローすることが多いです。基本原理→定石←問題解法ということです。

だからこそ、定石は、これはこの基本原理から導かれたもの、これはこの典型問題、基本原理からは使いにくいけど上手くいくもの、２つが区別でき前者はどの基本原理が礎となっているのか理論的な裏付けをし、後者はどの問題が礎となっているのか問題と裏付けをし理解の仕方、深め方を変えていくことが大切です。

これをしているかしていないかで、形式的な暗記から卒業でき、基本原理の理解、定石の活用能力がどんどん上がっていきます。

勉強では事前に知っておかないといけないことと、その場で試行錯誤するものがありますが、定石は前者で事前に知っておかないといけないことです。別に知っておかないといけないことは、定義、定理、公式、性質のみではありません。そして、テーマ毎の定石のように事前に知っておかないといけない知識は多数存在します。　

多くの受験生はその場で考えすぎです。もっと事前に準備できることはあります。試験場では目の前の問題に集中できるようにするためにも、ミスをしにくくするためにも、普段沢山考えて機械的にできる部分を増やしておくことが大切です。

よく数学は得点がブレるーと言われていますが、志望校レベルの典型問題のストック不足もありますが、ここで説明した定石化を怠りその場でのアドリブが多すぎるということがかなり強い理由になっています。

定石のメリットや具体的な作成方法は記事の軽量化を目的としてこちらに移行しました。

よくある話題

数学を勉強する時によくされる話題があります。ここではその中から5つの話題について触れていきたいと思います。

1.数学は独学しにくい　　

＊覚えるべき公式、覚えた方がいい公式、覚えない方がいい公式の区別がつかない
→数学ではこのように同じように見えても公式にはいろいろなタイプが存在します。これが判別できないと、無駄に頭を圧迫してしまいますし、使いこなせない、理解できない、ことの原因にもなってしまいます。明示しているものも少ないので、この事が独学がしにくい原因になっています。
独学している人は一つの指標として、その公式は限られた状況でしか使えない公式か確認していただきたいです。限られた状況でしか使えない公式であれば、優先順位は下がります。最たる例が反復試行の確率の公式です。あの公式は限られた状況しか使えないので、もっと全般的に使える構造のほうを覚えていると思います。 独学の方はこの視点を利用してみてください。
※人によっては覚えておくべきもの、覚えなくていいが導けないといけないもの、といった区分けもあります。
※公式の中には他の公式たちと違った使い方をする公式もあるので、なおさら勉強しにくいポイントになっています。簡単な所でいくと内接円の半径の公式などです。

＊抽象化が上手くできない
→定石の記事の方でいろんなコツや方法について話しましたが、どうしても長年数学に携わっている、駿台の先生や鉄緑会の先生方ほど上手くできず、汎用性の低い物になりがちです。加えて、定石を作るにも、質を上げるためにも、かなりの時間と労力が必要になってきます。自分でするのは正直現実的ではありません。

＊できる人の視界が共有できない
→参考書は解いている人の視点、視界が共有されているものがすくないです。したがって、授業ではすることが可能な、解ける人が問題を見た時どのように考えているのか、見ているのかという共有がしにくいです。そうなると、上手な人の真似をする機会がなくなってしまうので、なかなか問題が自分で解けるようになりません。勉強の基本の上手な人の真似ができないということです。
※一部講習のみいって成績が飛躍する人がいらっしゃいますが、このできる人の視界の共有ができるという部分が大きいです。浪人した時に急に伸びるパターンもこれが原因になっていることがあります。

＊他の単元との結びつきが理解できない
→自力で他の単元との結びつきを発見をするには、かなりの理解と労力が必要になりますし、殆どの場合そもそもできないという場合ばかりでしょう。自分でできたら予備校はいりません。仮にできたとしても、本当は他の科目にまわせるはずだったかなりの時間を数学に投下することになるので、数学はできるようになっても、他の科目の勉強時間を圧迫し、他の科目の点数の伸び悩みにも繋がってしまいます。数学は確かに大事ですが、受験は数学だけではありません。

＊市販のものだけで必要な考え方、理解をするのが現実的ではない
→YouTubeやネットなどが使えるとしても、仮に独学でするなら必要なことを集めるためにかなりの冊数が必要になってしまいます。定着するまで参考書をすることを考えるならなおさらです。しかも、市販の物で必要なものを揃えることが現時点で不可能です。独学で数学をすることは得策とは言えません。可能な人は予備校や鉄緑にいって欲しいです。

2.数学における読解力

ここでは読解力を緩い意味で使っています。

数学的特徴を特徴だと自力で正しく認識でき、その特徴から情報を正しく根拠を持って読み取れること、読み取った情報を式に落とし込む能力であると考えています。これは物理や化学でも同様です。よく数学の読解力をつけるために、現代文の勉強をしないといけないいけないという人がいますが、かなり的外れです(文系科目の先生がこれをいっていることが多い気がします理系科目の先生でこれを言っているのを今の所見たことがないです)。

形式だけに注目しすぎです。現に身近で何人もほとんど無関係な人をみているのではないでしょうか。

数学や物理が抜群にできる人で現代文ができない人、逆に現代文はできるけど数学や物理やできない人、いくらでもそういう例を周りに見ると思います。

当たり前ですが数学の読解力を磨くためには数学の勉強をするしかありません。現代文とはほぼ無関係です。数学的な特徴を特徴として認識できるようになるためには、現代文の勉強をしても仕方がないです。

ただしく図が描けるかというのも、読解力の一つだと考えています。はじめた頃だと、解答を見た時に全然違う図を書いていたということも多いです。

3.解法暗記とは

よく聞く解法暗記とは、この記事の定石を覚えることです。英語の英文解釈と同じで、数学ではこの言葉がかなり緩い意味で使われているので、人によって解法暗記の指す意味がかなり異なります。

ある人は定石を覚えること、またある人はその問題固有の解き方の手順を覚えること、といった具合です。基本的に解法暗記を推している人は前者、批判している人は後者を指していることが多いです。

解法暗記を否定しているのに、させていることは結局解法暗記じゃないの？という疑問がよく起こるのはここのねじれが原因です。もしかしたらここに気づかせたくなくて、わざとゆるい意味で言っているのかもしれません。

4.非典型問題が解けない

よくこれは話題にあがりますがそもそも非典型問題ではない、もしくはそもそも典型問題ができていないというケースが非常に多いです。

過去問を見て初見で見た時に半分ぐらいを典型問題と感じていない(本当は東大以外ならもっと典型と感じていて欲しい　特に京大)なら、自分の典型問題のストックが志望校のレベルに達してないです。

よく記事に書いていますが、その場でアドリブしすぎです。数学は点数がブレるみたいなものをよく聞くかもしれませんが、これが原因になっていることが多いです。 私のルートでもオプションにしていないものは、この最低ラインを割らないように構成しています。

過去問でギャップを感じている人や、安易に非典型問題が苦手と言っている人(そもそも典型すらできてないことも多いですが脱線しすぎるのでおいておきます)は、特にですが、典型の解釈の幅がせますぎます。見た瞬間わかるもの、最初の頃触れたもの、試行錯誤しないものを典型と思っているかもしれませんが、典型の解釈を広げてください。

試行錯誤するものはもちろん、いくら難しくても、頻出で、有名なら、事前に対策できるものなら、それらは典型です。

5.数学はひらめきか

かなりどうでもいい内容ですが、私の雑談アカウントの方で書きましたのでよければご確認ください。

数学学習の最大の注意

ここは誤解を生みそうなので慎重に読んでください。

数学学習の注意として、数学頼りの受験にしない、数学ばかり学習しすぎず他の科目、特に英語や理科も意識的に学習するということが大切です。

特にこれは、東大志望に意識しておいてほしいです。数学を安定する方法をこの記事でも、色んな場所で話しましたがが、やはり個人差が出てブレが出ます。不安定なものを頼りにするのは心許ないです。

得点を安定させるためには、英語や理科の力を借りざるを得ないです。

そして昨今東大はAIなどの発達も関係してか、急激に難化しています。おそらく時期的にみてもAIは関係しています。

おそらくここからも際限なく難化していくと予想されます。得点できるように、相当な労力が要求され、そして、それが必ずリターンが返ってくる保証が少ない状況です。難易度上昇で不安定さも上がっていきます。

真正面から向き合うとかなりきついということです。

だからこそ、勉強の仕方は慎重にならなければいけません。数学を周りに差がつけられないように、勉強することは大切ですが、それ以上の勉強は報われない可能性が高いです。

これを言うと、他の科目も難化していると言われるかもしれませんが、数学と比べれば全然です。

数学は砂糖のようになかなかの魅力と魔力があり魅了されがちですが、安定した得点力を身につけるために、一定ラインまでの学習が進んだら、そのまま突き進むのではなく、意識的に数学以外も学習してほしいです。

こちらの動画も併せて見ていただけると本記事の内容をより理解することができます。

読んでくださりありがとうございました。受験生や学習者の参考になれば幸いです。スキを押してもらえると励みになります。