電磁気力も「幻」となる一般相対性理論

重力は、よく「万有引力」とも呼ばれます。あらゆる物体の間に働く重力は、物体を引き寄せる引力であるためです。少なくともニュートン力学の範囲では、物体の質量は全て負にならず、そのため粒子間で重力が斥力になる現象は見つかっていません。

しかし素粒子物理学の高次元超対称性理論などでは、重力を記述する高次元時空の一般相対性理論から、電磁気力や弱い力、原子核内の強い力が出てきます。

下の記事では、特に５次元アインシュタイン重力から４次元電磁気力を出す説明を行っています。

高次元時空において重力以外の力が働かない、正質量の自由粒子だけしかない場合でも、電磁気力は空間のコンパクト化によって現れ、そして引力だけでなく、斥力も出てくるのです。これは一見「万有引力」と矛盾しているようにも見えますが、実は矛盾はありません。それは粒子の電荷は正の質量エネルギーの寄与から出てくるのではなく、コンパクト化の内部空間の巻付き方向の運動量の寄与から出てくるからです。エネルギーと異なり、運動量は正負両方の符号の値を取れるため、それが４次元時空において粒子に正負両方の電荷を与えるのです。そしてこの理論では、電磁気力も、重力同様にホログラフィ原理の文脈における「幻」とも言えます。今回はこれを具体的に見てみましょう。

まず５次元時空で、空間座標ｙの方向を半径Ｒのトーラス型にコンパクト化します。

そして下記の形の５次元時空計量テンソルを考えます。

ギリシャ文字の添え字は、４次元時空の0,1,2,3という値をとります。またコンパクト化された方向の座標に、各量は依存しないとします。

一般相対性理論のアインシュタイン＝ヒルベルト作用は以下で与えられています。

この作用に（２）式の５次元計量テンソルを代入すると、４次元時空での暗シュタイン＝ヒルベルト作用とともに、その最初の補正項として電磁場のマクスウェル作用も出てきます。

ここで元の５次元時空において、質量ｍの自由粒子（重力以外の電磁気力などは受けない）の作用を考えてみます。

ラグランジュの未定定数法を使うと、この作用はラプス関数N（τ）を使って

とも書けます。そして（２）式の計量テンソルを使うと、具体的にこの作用は

になります。ｙに共役な運動量は

で与えられているので、（７）式の粒子の作用は、ラグランジュ未定定数としてのｙのこの共役運動量を用いて、

と変形できます。重力場と電磁場は全てｙに依存していないので、ｙに共役な粒子の運動量は保存します。それを定数qとします。

すると（１０）式は

となります。この右辺第一項は全微分の積分となっており、境界項になりますので、無視することが可能です。結局、５次元時空での自由粒子の作用は以下の形になります。

ここで粒子の質量の２乗は、４次元時空で

に置き換わります。ここで注目すべきことは、出てきた（１３）式の作用が、４次元時空で重力場と電磁場と相互作用をする荷電粒子の作用に、ぴったり一致している事実です。そして、その粒子の電荷は、５次元時空でのｙ方向の運動量です。ですから電荷には正負両方の値が可能なのです。

ここで（１）式のトーラスへのコンパクト化の周期境界条件から、ｙ方向の運動量は整数ｎを用いて量子化されています。

これは即ち電荷の量子化を意味しています。

低エネルギー領域で観測可能な全ての粒子の電荷は、素電荷量eの整数倍で書かれていますが、この「電荷の量子化」がこの理論では自然に出てくることも特徴です。今は簡単のために５次元時空をトーラス型にコンパクトしたので、素電荷の1/3や2/3などの値をとるクォーク電荷は出てこれませんが、１０次元時空を４次元時空にある方法でコンパクト化をしてやると、非可換ゲージ場理論におけるクォークの電荷の量子化も出すことができます。

５次元時空に２つの電気的に中性な粒子を入れておけば、４次元時空でのクーロン相互作用も出せます。ｙ方向の運動量に一致するそれぞれの電荷を考えて、電荷密度を

で与えれば、４次元時空で距離r離れた２つの粒子に対する、以下のクーロンの相互作用も、一般相対性理論から自動的に出てきます。

ここで２つの電荷の符号は正負どちらもとれます。したがって重力と同じ引力だけでなく、重力とは異なる斥力も、高次元一般相対性理論から導くことが可能なのです。

このことからわかることは、電磁気力も、重力と同様に等価原理が成り立つ対象であり得ることです。電磁気力が高次元の重力であるのならば、局所慣性系の座標をとれば、電磁場も重力も任意固定のその点で消去できるのです。このように電磁気力を高次元時空に埋め込めば、ホログラフィ原理の意味で、電磁気力も「幻」なのです。