時計を作ることで、初めて物理的時間が創発する量子宇宙

宇宙の起源を探る研究では、量子力学と一般相対論を融合させた量子重力理論が必須です。現時点でそれは未完成な状況ですが、超弦理論やループ重力理論など、様々な可能性が多くの研究者によって探究されています。

ホーキング博士とその共同研究者は、ビッグバン宇宙は何もない量子揺らぎから生じたという「無からの宇宙創成」の理論を提案しました。古典的な一般相対論に現れていた、時空曲率が発散する初期特異点も、量子効果でなめされて消滅すると彼らは考えました。宇宙の始まりには特別な点や領域のような境界は存在しないことを意味するため、彼らの理論は「無境界仮説」とも呼ばれています。ところがそのような理論では、異なる時空をシュレディンガーの猫のように重ね合わせることが主な原因となって、時間が消失してしまいます。

時間とは、そもそも個別の時空の中にそれぞれ１つだけ存在するものであり、違う宇宙では異なる時間の流れが生じます。その異なる宇宙や時空を量子的に重ね合わせてしまうと、どうしても１つの客観的な時間というものがとれなくなるのです。ただ１つの宇宙外部の時間というものがあればよいのですが、宇宙にはそのような「外側」はありません。そのため客観的な時間の自由度が、そもそも残らないのです。

もしむりやり量子宇宙全体に対するシュレディンガー方程式を書こうとすると、その時間微分項は零となり、その結果として波動関数にハミルトニアンをかけたものが恒等的に零となります。この量子重力理論の基礎方程式は、「ウィーラー＝ドウィット方程式」と呼ばれています。

しかし、我々は普段から時間を感じています。ではその「時間」はどこから来たのでしょうか？現在多くの研究者は次のように思っています。つまり、図１のように、宇宙の中にある物理的な時計の自由度を設定して、その時計の針の位置に対して、他の物理的な対象hがどのような状態にあるのかが、我々の時間を生み出しているのだと考えるのです。

仮に重力的な自由度から、理想的な時計Cを作れる場合を考えてみます。その時計の針の位置座標に対する共役運動量Pを想定します。エネルギーに下限がある普通の物質からはこれは決して作れないのですが、この時間の共役運動量をその理想的な時計のエネルギー（つまり、ハミルトニアン）とし、そしてその運動量Ｐはマイナス無限大からプラス無限大までの値がとれるとするのです。重力場の一部の自由度を使って、そのようなＰをエネルギーとする時計がうまく作れると考えてみます。

この理想的な時計の場合でも、（１）式のように、古典的な一般相対論で重力場と物質場のエネルギー密度の合計は常に零であるという条件が要求されています。この式でhとΠは、対象系の互いに共役な物理自由度を表します。

この古典理論に対応する量子理論を考えてみましょう。その場合には、形の異なる宇宙だけど、現在の宇宙時空の空間断面だけは共通している寄与を、図２のように、量子的に重ね合わすことになります。

そして量子的な演算子で考えるのならば、下記の関係を満たす時間演算子とそれに対して共役な運動量演算子が出て来ます。

この場合に時計の針の位置は、この時間演算子の固有値のどれを意味します。

さて量子重力でのウィーラー＝ドウィット方程式ですが、今の場合では（４）式になります。ここで|phys>は、宇宙の物理的な状態ベクトルです。

ここで非自明でかつ面白いことに、時間を持たなかったこの（４）式から、時間を持った対象系のシュレディンガー方程式を導くことができます。

まずこの状態ベクトルに対して、時計が固有値tを持ち、そして対象系の自由度がhで指定される状態での波動関数表示を、（５）式で与えます。

これを使うと、（４）式は（６）式に書き換えられるのです。

これはまさしく我々が知っている、時間微分項を含んだシュレディンガー方程式です。時計のハミルトニアンＰが、この左辺の時間微分項を創発したのです。

これから分かるのは、時間という概念が、時計そのものから作り出されていることです。量子宇宙全体には時間という概念自体がそもそも存在しなかったのですが、物理的な時計を同定することにより、時間が対象系の中に生まれるのです。これは物理学において時間の本質を捉える重要なヒントとなります。

この理想的な時計モデルは、提案者の名前をとってペイジ＝ウータースモデル（Page-Wootters model, PWモデル）と呼ばれています。非常に興味深いモデルなのですが、残念なことに、我々が作れる現実の時計はこの理想的な時計とは異なります。このPWモデルでの時計のハミルトニアン（エネルギー）の固有値はマイナス無限大からプラス無限大の全てをとれる必要があるのですが、現実の物質の時計ではエネルギーには下限があります。これはその時計が熱力学的に安定であるという性質と結びついています。その場合には、PWモデルのようには対象系のシュレディンガー方程式を導くことができません。ある近似の範囲でならば近い時計は作れますが、時空の全ての領域で理想的振る舞いをする時計は作れないのです。また現実のアインシュタインの一般相対論における重力自由度を用いてPWモデルの理想時計を作れることは、現在でも示されていません。そしてそれは基本的に難しいと考えられます。

またPWモデルの範疇でも、もし直接にその時計が対象系と相互作用を持ってしまえば、出てくる対象系のシュレディンガー方程式は（７）式になります。

しかしこの場合では、特殊な場合以外で対象系での確率保存つまりユニタリー性を（８）式のように破ってしまい、量子力学の確率解釈ができなくなります。

これが起きるのは、相互作用に時間に対する共役運動量演算子Pの２次以上の項が含まれる場合です。この破れは我々の実験や観測と合わないため、大きな問題して残ります。期待としては、うまく時計自由度の選択をすることで、時計と対象の直接の相互作用を消せる、もしくは小さくできる設定があるだろうと、多くの研究者は期待をしてその探究もしています。

ただ理想的な時計と対象系とは直接的な相互作用をしていないのに、その関係性、すなわち相関が観測できる背景には、観測者（エージェント）の存在が隠れています。この観測者がまず理想的時計を測り、そして対象系を測っているのです。量子宇宙を時計と対象系の２つに分ける方法は無数にあるはずですが、観測者を理論から排除して、対象系自身が直接この時計を相互作用を通じて読むとすると仮定をすると、Pの２次以上の項がある場合、量子力学のユニタリー性が壊れてしまうのです。つまり、その場合に観測者なしでは、この理論は完結しません。よほどうまく相互作用を調整できるように、１つの量子宇宙全体を２つの自由度に分ける方法がないといけません。

最近の量子重力理論では、観測者や測定機を入れないと整合的な理論が作れない側面が目立ってきています。観測者なしの実在論的な記述は、量子重力には不適格であり、内部から宇宙を見ている観測者の存在を伴う認識論的な記述をする理論が増えてきています。

最後にコメントを加えておきます。ここではPWモデルだけを紹介しましたが、他にも無数に量子時計の提案は為されており、たとえば宇宙の大きさ（スケール因子）を時計とする場合でも、径路積分から近似的に対象系のシュレディンガー方程式を出せることも知られています。