ガロワの最後の手紙

或いは "5, 7 and 11 - Exceptional Galois Trio"

💡2月23日に以下の論文を見つけました：
On 23rd of February 2026, I discovered the following paper:

The truncated icosahedron is translated as "切頂二十面体"  in Japanese.

The paper by Scott A. Olsen refers to a very interesting fact:

and here is an excerpt from Phys.org:

The circumstances that led me to the aforementioned paper by Bertram Kostant are not complicated, but they are not entirely straightforward either.

1. While inspired by an article by GEMu様, coincidentally I was computing an induced character in a "brute-force" manner as if following the way how Peter Guthrie Tait developed his hand-drawing of knots and also an advice of Richard Borcherds, I happened to learn about Knot Theory.

2. Then, I learned that Molecular Biology and Chemistry were important applications of Knot Theory.

3. It immediately brought back memories of Buckminsterfullerene💡

4. This keyword led me to Friedrich Hirzebruch's speech at the Award Ceremony for the Seki Takakazu Prize of the Mathematical Society of Japan 日本数学会関孝和賞 in 1996 titled 『正多面体とサッカーボール』.

5. This speech by Friedrich Hirzebruch referenced the aforementioned paper by Bertram Kostant.

日本語で簡単にまとめると、Kostant の論文に辿り着く経緯は複雑怪奇とは言わない迄も、決して単純ではありませんでした：

1. 丁度有限群の誘導指標を強引に計算している中、GEMu様の記事を読んで結び目理論を簡単に勉強した。

2. 分子生物学や化学に結び目理論が応用されることを知る。

3. バックミンスターフラーレンの記憶が蘇る。

4. このキーワードから日本数学会関孝和賞授賞式における Friedrich Hirzebruch の講演を知る。

5. その講演の中に Bertram Kostant の論文が引用されていた。

The article by GEMu様 mentioned in 1. is referenced in the following:
そもそもの切っ掛けとなったGEMu様の投稿に言及した記事です：

On the same day - 23rd of February (this year), I came across the following no+e article coincidentally:
そして論文を見つけた同じ日に極めて魅力的な詩に遭遇：

The title "Rhapsody for Primes 3 and 5" is superb, and let me include here my comment to the above article in a "readable" manner:
このタイトルがとても秀逸であったので、その記事に残した私のコメントを読み易い形で再掲します：

The above theorem is explained in the first chapter of the following book, which is highly demanding without any exaggeration:
上記の定理は以下の本の第一章で説明されていますが、大袈裟な表現抜きに読みこなすのはとても大変です😨

The purpose of this article, however, is not to talk about FLT, the proof of which required in-depth study of Galois Representations ガロワ表現. Instead I wish to touch upon the "final" letter from Évariste Galois to his friend Auguste Chevalier on the eve of his duel, as I referred to in my article dated 1st of April.

本記事の目的はガロワ表現に関する極めて深い研究がその証明に用いられたフェルマーの最終定理についての話をすることではありません。
私が触れたいのは4月1日の記事⬇️で触れた決闘前夜に友人に宛てに書いたエバリスト・ガロワの最後の手紙の内容に関してです。

And the surprises keep coming...
While preparing this article, I came across the following verse:
更に驚きなのは、この記事を準備し始めた頃以下の詩が投稿されました。

As I commented on the above verse, the time stamp is rather intentional:
投稿にもコメントしましたが、日付・時間が巧妙に意図されています（12桁の素数に偶然一致するというのは一寸考えにくい…😮🤔）

What follows is not the latest cool mathematics such as ABC Conjecture, which is unfortunately often confused with Inter-universal Teichmüller theory, or Langlands Program.
以下は IUT 理論と混同されやすい ABC予想やラングランズ・プログラムのような最先端のクールな数学ではありません。

Although Galois theory is rather famous as often written in popular science books, Galois' Final Theorem is scarcely (if not never) mentioned even in ordinary mathematics textbooks. It can be stated as follows:
ガロワ理論はかなり有名で、多くの通俗科学書の題材になっています。一方ガロワの最終定理と呼ばれるものは数学の教科書でも殆ど触れられていないのではと思いますが、以下のように述べられます：

簡単に言うと：

• 13 以上の素数 p に対して有限体 Fₚ 上の射影特殊線型群 PSL₂(Fₚ) は指数 p の部分群を持たない (*)

And the paper by P. Martín and D. Singerman contains the following table:
上記の P. Martín, D. Singerman の論文では以下の表にまとめています：

Fano plane mentioned in the above table (p = 7) is very important.
上記の表 (p = 7) に登場する Fano plane はとても重要です。

例えば Cayley algebra (Octonions, 八元数) を定義する際に用いられます。
またこれを用いて、14次元の Exceptional Lie Group G₂ を構築出来ます。

On the other hand, order-3 biplane in the above table (p = 11) is more complex, and let me show an example skipping its explanation.
一方、上記の表 (p = 11) に登場する Order-3 biplane はとても複雑なので、例を示すに留め、説明は省きます。尚 biplane は通常は複葉機と訳されます😵が、ここは数学の話をしているので、複葉機ではありません😎

色々と勉強しながら読んだので、証明をきちんと理解するのに一ヶ月以上も掛かりましたが、途中それなりに副産物がありました💡
ソフトウェアに計算を任せるのは私のスタイルではないので、以下の証明に際しては基本的ながらかなりの手計算が必要でした。或る意味で19世紀後半の数学者達の手法ですが、そのような努力により Mathieu groups のような有限単純群が発見されたのです。次の有限単純群 Janko groups の発見までには更に100年が必要でした。（Mathieu や Janko の仕事と比較すると、私の計算等は児戯に等しいですが…😁）

1. 交代群 alternating group A₅ が射影特殊線型群 projective special linear group PSL₂(F₁₁) の部分群であることを、埋め込みの方法を具体的に示すことで証明

2. 射影特殊線型群 PSL₂(F₁₃) の共役類を分類

3. PSL₂(F₁₃) には二面体群 dihedral group D₁₃ が含まれるが、p = 7 或いは 11 に関しては Dₚ は PSL₂(Fₚ) に含まれないことを証明

上記 3 の elegant ではなく "elephant"🐘 な証明：

(*) の証明は何通りかありますが、代数曲線の分岐に持ち込む代数幾何学的な証明が一番判り易いです。他にも unimodular な標数 p > 0 の表現を標数ゼロ（複素数体）への表現に持ち上げて、SL₂(C) の部分群の調査に持ち込む方法もあります。

It is literally incredible that Évariste Galois found out such a deep property and he sought to pass on his research findings to future generations through his final letter just before his duel.

[Header Image Credit]
Left: via Pinterest
Right: The last page of letter from Évariste Galois, French mathematician, to his friend Auguste Chevalier
Taken from 『ガロアの時代 ガロアの数学 第一部 時代篇』 via Wikimedia Commons (Public Domain)

Here is a noteworthy article written on the book regarding the mathematics of Galois⬇️

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