加速する観測者が見る、ブラックホール地平面のミクロ状態とエントロピー

ブラックホールが出す熱輻射は、ホーキング輻射と呼ばれています。現実の天体としてのブラックホールでは、その温度が非常に低くなるため、まだその輻射は観測されておりません。しかし、1974年に発表されたホーキング博士の説得力ある理論によって、多くの研究者はその熱輻射の存在を信じている現状にあります。

古典的な一般相対論では、物体の容器としての時空でしかなかったブラックホールですが、量子効果を取り入れた結果、輻射を出せる熱を持った対象だと理解されるようになりました。熱力学的な考察をすることで、そのブラックホールは事象の地平面の面積Aに比例をしたエントロピーを持つことがわかります。光速度cと換算プランク定数ℏを1とする自然単位系を採用すると、重力定数をGとして、そのエントロピーはAを4Gで割ったものであることが、図１のように示されます。

このエントロピーは、2人の考案者の名前に因んで、「ベッケンシュタイン＝ホーキングエントロピー（BHエントロピー）」と現在呼ばれております。

通常の熱的なエントロピーならば、状態数の対数で統計力学的に説明できます。しかしブラックホールの場合には、そのような説明は極めて部分的な場合にしかできていません。典型的なブラックホールである、球対称のシュワルツシルトブラックホールや回転しているカーブラックホールにおいては、誰もが納得をする厳密な状態数の足し上げで、このブラックホールのエントロピーを理解することはまだ為されていないのです。

古典一般相対論には、ブラックホールの「無毛定理（No-Hair Theorem）」というのがあって、静的なブラックホールを特徴づける物理量は、全体の質量Ｍと角運動量Ｊ、そして電荷Ｑのたった３つしかないということも、BHエントロピーの起源がわかりにくい原因の１つです。BHエントロピーの値は通常天文学的に大きな数字になりますが、それを再現できるだけの、統計力学的な多数のミクロ状態が、普通の方法では見つからないのです。

ところが、観測者の運動に依存したミクロ状態というものがブラックホールには存在し、そのミクロ状態の数がBHエントロピーが再現できる可能性を、ほぼ四半世紀前の2001年に、下記文献リストの論文[1]で我々が指摘をしています。その15年後、ホーキング博士とその共同研究者たちも、同様の可能性を考えて、論文[2]を書いて注目を集めました。ただし彼らがその論文[2]を書いた直後には、まだ我々の[1]の存在を知らなかったそうです。

文献リスト[2]のホーキング博士らの論文では、地平線を跨ぐ座標系を考えており、その座標系は図のような自由落下している観測者や時計に対応しています。

しかし、古典一般相対論の範囲では、その座標系でブラックホールのミクロ状態を見つけることが彼らはできませんでした。そのため最初から量子的なミクロ状態を探すことを、彼らはせざるを得ませんでした。そこで回転するブラックホールについて、ある量子化を彼らは論文で提案をしたのですが、その彼らの量子化は非常に特異であり、ブラックホールの角運動量を零にする球対称極限をとると発散が生じてしまって、もっとも簡単である球対称なシュワルツシルトブラックホールをうまく説明できなかったのです。

しかし、我々の論文[1]では、図３のように地平面の中には落ち込まない、加速する観測者や時計を使った座標系を採用しています。

すると、今度は古典一般相対論においても消えない、ミクロ状態とその物理量が現れます。これは非常に興味深い状況です。自由落下する観測者はこのミクロ状態を観測できませんが、地平面のぎりぎり外側で一様加速度運動をする観測者には、このブラックホールのミクロ状態を観測できるのです。このミクロ状態は、その有無が観測者に依存をした認識論的な概念なのです。さらにこのミクロ状態がBHエントロピーの統計力学的な起源であるのならば、BHエントロピー自体も、図４のように観測者に依存したものだと言えるのです。加速する観測者にとっては、そのエントロピーが創発しているのだけれども、自由落下する観測者にとっては、そのようなエントロピーをブラックホールは持っていないのです。

地平面外部を一様加速度運動をする座標系は、静的な時空の計量テンソルをもっており、その空間無限遠方領域では、我々の平坦な時空に自然に繋がっています。そのような座標系では、ブラックホールの熱力学を自然に考えることもできるのです。その座標系を実装した観測者にだけ、熱力学に従うBHエントロピーが現れるのです。

つまり時空自体が古典的な段階でも、量子的な粒子の位置や運動量の測定のように、BHエントロピーは測定の仕方次第で現れたり消えたりするのです。量子重力理論の効果が、このような古典領域に残っているとも言えます。

このような古典領域での量子重力の名残りの例は、他も知られています。たとえば3次元の反ドジッター（AdS）時空の古典理論に現れる代数の中心電荷cが知られています。この中心電荷は、通常の場合、量子的な共形場理論の代数に現れるものです。とくに超弦理論におけるAdS/CFT対応では、その中心電荷の値は重要な役目を担っています。古典領域においても、その量子起源のcの値は消えずに残り続けているのです。この中心電荷のように、地平面近くのミクロ状態やBHエントロピーも、古典領域でも生き残った量子重力の効果と考えられます。

このような考察を踏まえても、量子重力理論は、観測者ごとに記述が変わる、認識論的な理論であることがわかってきます。客観的で実在的な量子時空というものは存在せず、観測者毎に時空は決まってくることが、想定されるのです。

またこのような考え方を踏まえると、ブラックホールの物理は、我々の周囲のほぼ平坦な時空領域でも探究できることがわかってきます。たとえばブラックホールの質量Ｍを無限大にしながら、地平面近傍を見ますと、図５のように、時空曲率が零となる平坦なミンコフスキー時空がでてきます。

このリンドラー地平面は、平坦な時空の中を一様加速度運動する観測者や時計で構成される座標系の境界面のことです。ある物体が一旦この地平面を横切ってしまうと、その物体が進行方向を逆転させても、その地平面には追いつけず、二度と地平面の外側領域には戻れません。ブラックホールではない平坦な時空にも、このようなに観測者に依存した、人工的な「事象の地平面」が存在するのです。

するとホーキング輻射やBHエントロピーの物理には、時空曲率自体は本質ではないこともわかります。曲率零の平坦な時空の真空状態において、一様加速度運動する測定機は、その加速度aに比例する温度の熱浴粒子を観測することが「ウンルー効果」として知られています。

このウンルー熱浴こそが、無限大質量をもつブラックホールと平衡状態を作るホーキング輻射なのです。つまり、図６のように、平坦な時空でウンルー効果が観測されれば、それはブラックホールの物理を意味しているのです。

このような観点からは、我々の身の回りの時空の性質を超精密に測定をすることで、ブラックホールと同等の量子重力の効果が観測可能となることが、期待をされるのです。

[1] M. Hotta, K.Sasaki, and T. Sasaki, Class.Quantum Grav. 18,1823 (2001).
[2] S.W. Hawking, M. Perry, and A. Strominger, Phys. Rev. Lett. 116, 231301
    (2016).