量子もつれで沢山の情報を引き出す

量子もつれ（エンタングルメント）は、量子テレポーテーションや量子コンピュータのための資源として、量子情報科学においてよく知られています。今回は、この量子もつれが、さまざまな物理学の分野における精密測定の資源としても利用できる可能性を解説しましょう。現在のところ、この技術は主に量子光学系の実験で使われていますが、今後は半導体を含む多様な物性系、素粒子や原子核の実験、さらには宇宙観測の技術にも応用が広がっていくと期待されています。

多くの物理実験では、未知の相互作用プロセスを明らかにすることが目的とされています。たとえば、相互作用の非常に小さな結合定数などのパラメータの大きさを正確に推定することが重要となる場面が多くあります。ここでは、簡単な例を用いて、パラメータ推定における量子もつれの有用性を説明したいと思います。

図1のように、外から中が見えない装置を考えます。この箱の中には、箱の正面に垂直な向きに磁場がかかっているとします。

この箱にスピンが上向きの状態にある中性子を1つ入れると、ごく小さな角度2θだけ、そのスピンが回転します。(普通の場合、θは0からπ/2までの値をとります) このθは未知の量であり、箱から出てきた中性子のスピンを測定することで、その大きさを推定するのです。そして、θの値を知ることで、箱の中の磁場の強さを推定することができます。

従来の方法では、図2のように、N個の中性子スピンをすべて同じ状態に準備し、それぞれを箱に通してから個別に測定し、統計的に平均を取ることでθを推定していました。

この場合、よく知られているように、θの推定誤差はNの平方根に反比例して小さくなります。しかし、量子もつれを用いることで、同じN個の中性子スピンを使っても、推定誤差を1/Nにまで小さくすることが可能になります。Nが非常に大きい場合には、従来の方法と比べてはるかに精密にθを推定できることを意味しています。

この高精度のパラメータ推定の仕組みを説明するために、図3のように、まずは箱を90度回転させてみましょう。すると、磁場の向きは地面に垂直になります。

この回転させた箱にスピンが上向きの中性子を入れてみます。すると、スピンの向きは変化せず、そのままの状態で箱から出てきます。ただし、出てきたスピンの状態には、入れる前の状態に比べてexp(iθ)という位相因子がかかっています。

このような、状態ベクトル全体にかかる位相因子は物理的な観測対象ではないため、どんな測定をしてもθの情報を得ることはできません。したがって、図3のような状況では、図1よりも推定が難しくなったように見えます。

しかし、θの推定精度を上げるヒントは、図4のようにN個の上向き状態の中性子を箱に入れた場合に得られます。

このとき、箱から出てくるN個のスピンの状態には、全体としてexp(iNθ)という位相因子がかかっています。つまり、小さなθの効果がN倍に増幅されているのです。

Nを十分大きくすれば、Nθは1程度に達し、この増幅効果を活用できる可能性があります。しかし図4のような場合でも、その増幅は現れたのは、状態ベクトル全体にかかる位相因子にであり、それは観測量ではありません。なので、このNθはまだ直接観測することができません。そこで、このような増幅効果をうまく活かすために、量子もつれを利用します。

図5のように、N個の中性子スピンの量子もつれ状態を考えます。

これは、N個すべてが上向きの状態と、N個すべてが下向きの状態を足し合わせたもので、GHZ状態と名前が付いています。また猫状態（cat state）とも呼ばれます。この状態にあるN個の中性子を一つずつ箱に通すと、最終的に得られる状態には、上向き部分にexp(iNθ)、下向き部分にexp(−iNθ)の位相因子がかかります。このとき、2つの状態の間にはexp(i2Nθ)という相対位相が現れますが、これは観測可能な量です。そして、2N倍の増幅効果により、θをおおよそΔθ＝π/(2N)という誤差で推定することが可能になります。従来の方法では推定誤差はNの平方根の逆数までしか下がりませんでしたが、量子もつれを使えば、このように1/Nという速さで誤差を減らすことができるのです。

もちろん、この議論は、猫状態をうまく制御し、かつデコヒーレンス（環境との相互作用による量子状態の崩れ）を抑えることが前提です。現時点では、そのような制御は技術的に容易ではありません。しかし、将来的に量子コンピュータ開発での技術が進歩し、量子もつれの精密な制御が可能となれば、このような高精度な量子パラメータ推定も現実味を帯びてくることでしょう。

さらに、量子もつれを用いることで、別のタイプの量子推定も可能になります。図6のように、スピンAとスピンBの量子もつれ状態を用意し、未知の微小パラメータgに依存した操作を行う箱に、スピンAを通します。すると、スピンAにはgの情報が書き込まれます。

このとき、AとBの両方にまたがって量子測定を行うと、量子もつれを用いない場合と比べて、gの推定誤差が一般的に小さくなるのです。それは、gの情報がスピンA単体にだけでなく、AとBの間に存在する量子相関にも書き込まれているためです。このような量子推定の一般的な理論は、量子フィッシャー情報量の枠組みを使って厳密に構成することができます。このような量子もつれも、様々な基礎科学分野の将来の実験や観測において、非常に有用なリソースとして期待をされています。