Shko te përmbajtja

Arkimedi

Redakto lidhjet
Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë

Stampa:Përkthyer nga gabimisht është përfshirë në artikull. Vendose në faqen e diskutimit.

Arkimedi i Sirakuzës
Ἀρχιμήδης
Pikturë e një burri të moshuar që mendon thellë mbi probleme gjeometrike
Arkimedi i menduar (1620)
Lindirr. 287 p.e.s.
Sirakuza, Siçili
Vdiqrr. 212 p.e.s. (rreth 75 vjeç)
Sirakuza, Siçili
Njihet për
List
Karriera shkencore
FushatMatematikë
Fizikë
Inxhinieri
Astronomi
Mekanikë
InfluencesEudoksi i Knidit
InfluencedApolloni
Hero i Aleksandrisë
Pappus i Aleksandrisë
Eutoci i Askalonit

Arkimedi i Sirakuzës[a] (rr. 287 – rr. 212 p.e.s.) ishte matematikan, fizikant, inxhinier, astronom dhe shpikës grek nga qyteti i Sirakuzës në Siçili. Edhe pse dihen pak detaje për jetën e tij, bazuar në veprën e mbijetuar konsiderohet një nga shkencëtarët kryesorë të antikitetit klasik dhe një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave. Arkimedi parashikoi analizën moderne matematikore duke aplikuar konceptin e së voglës pafundësisht të vogël dhe metodën e shterimit për të nxjerrë dhe vërtetuar me rigorozitet një sërë teorema gjeometrike, duke përfshirë sipërfaqen e një rrethi, sipërfaqen dhe vëllimin e një sfere, zonën e një elipsi, zonën nën një parabolë, vëllimin e një segmenti të një paraboloidi revolucioni, vëllimin e një segmenti të një hiperboloidi revolucioni, dhe zonën e një spiraleje.

Arritjet e tjera matematikore të Arkimedit përfshijnë nxjerrjen e një përafrimi të numrit pi (π), përcaktimin dhe hetimin e spirales që sot mban emrin e tij, dhe krijimin e një sistemi që përdor fuqizimin për të shprehur numra shumë të mëdhenj. Ai ishte gjithashtu një nga të parët që aplikoi matematikën në fenomenet fizike, duke punuar në statikë dhe hidrostatikë. Arritjet e Arkimedit në këtë fushë përfshijnë provën e ligjit të llozit, përdorimin e gjerë të konceptit të qendrës së masës, dhe shpalljen e ligjit të pluskimit të njohur si Ligji i Arkimedit. Në astronomi, ai bëri matje të diametrit të dukshëm të Diellit dhe të madhësisë së universit. Thuhet gjithashtu se ndërtoi një pajisje planetari që demonstronte lëvizjet e trupave qiellorë të njohur, dhe që mund të ketë qenë paraardhësja e Mekanizmit të Antikiterës. Atij i njihet gjithashtu projektimi i makinave inovative, si vida e tij pompuese, sistemet e katrorëve dhe makina të tjera lëvizëse, si dhe makina mbrojtëse lufte për të mbrojtur Sirakuzën e tij të lindjes nga pushtimi.

Arkimedi vdiq gjatë rrethimit të Sirakuzës, kur u vra nga një ushtar romak pavarësisht urdhrave që ai të mos dëmtohej. Ciceroni përshkruan vizitën e tij te varri i Arkimedit, mbi të cilin ngriheshin një sferë dhe një cilindër, që Arkimedi kishte kërkuar të vendoseshin atje për të përfaqësuar zbulimin e tij matematikor më të çmuar.

Ndryshe nga shpikjet e tij, shkrimet matematikore të Arkimedit ishin pak të njohura në antikitet. Matematikanët e Aleksandrisë e lexuan dhe e cituan, por përmbledhja e parë gjithëpërfshirëse nuk u bë deri rreth vitit 530 e.s. nga Isidori i Miletit në Kostandinopojën Bizantine, ndërsa komentet e Eutocit të Askalonit mbi veprat e Arkimedit në të njëjtin shekull i hapën ato për herë të parë për një lexues më të gjerë. Në Mesjetë, vepra e Arkimedit u përkthye në arabisht në shekullin e 9-të dhe më pas në latinisht në shekullin e 12-të, dhe ishte një burim me ndikim idesh për shkencëtarët gjatë Rilindjes dhe në Revolucionin Shkencor. Zbulimi në 1906 i veprave të Arkimedit në Palimpsestin e Arkimedit ka dhënë njohuri të reja se si ai i mori rezultatet e tij matematikore.

Biografia

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Ciceroni duke zbuluar varrin e Arkimedit (1805) nga Benjamin West

Detajet e jetës së Arkimedit janë të paqarta; një biografi e Arkimedit e përmendur nga Eutoci i Askalonit thuhet se u shkrua nga shoku i tij Heraklidi Lembi, por kjo vepër është humbur, dhe shkenca moderne dyshon se ajo ishte shkruar nga Heraklidi që në fillim.[1]

Bazuar në një deklaratë të studiuesit grek bizantin John Tzetzes se Arkimedi jetoi 75 vjet përpara vdekjes së tij në 212 p.e.s., vlerësohet se Arkimedi lindi rreth vitit 287 p.e.s. në qytetin portual të Sirakuzës, Siçili, atëherë një koloni e vetqeverisur në Magna Graecia. Në Rërën dhe llogaritjen e saj, Arkimedi jep emrin e babait të tij si Fidia, një astronom për të cilin nuk dihet asgjë tjetër; Plutarku shkroi në Jetët Paralele[2] se Arkimedi ishte i lidhur me mbretin Hiero II, sundimtarin e Sirakuzës, megjithëse Ciceroni dhe Silius Italicus sugjerojnë se ishte me origjinë modeste.[3] Gjithashtu nuk dihet nëse ai u martua ndonjëherë apo pati fëmijë, ose nëse vizitoi ndonjëherë Aleksandrinë e Egjiptit gjatë rinisë së tij;[4] megjithëse veprat e tij të shkruara që kanë mbijetuar, drejtuar Dositeut nga Peluziumi, një student i astronomit aleksandrin Konon i Samosit, dhe kryebibliotekarit Eratosteni nga Kirena, sugjerojnë se ai mbajti marrëdhënie kolegjiale me studiuesit e vendosur atje.[5] Në parathënien e Për spiralet drejtuar Dositeut, Arkimedi thotë se "shumë vite kanë kaluar që kur vdiq Kononi." Konon i Samosit jetoi rreth 280–220 p.e.s., duke sugjeruar se Arkimedi mund të ketë qenë një njeri i moshuar kur shkroi disa nga veprat e tij.[6]

Kurora e artë

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Matja e vëllimit (a) para dhe (b) pas zhytjes së një objekti, ku (∆V) tregon se sasia e ngritjes së lëngut është e barabartë me vëllimin e objektit

Një histori tjetër e një problemi që i mvishet Arkimedit si i zgjidhur në shërbim të Hieros II është "problemi i kurorës".[7] Sipas Vitruvit, duke shkruar rreth dy shekuj pas vdekjes së Arkimedit, mbreti Hiero II i Sirakuzës kishte porositur një kurorë ari për një tempull kushtuar zotave të pavdekshëm, dhe kishte furnizuar ar të pastër për t'u përdorur nga argjendari.[8] Megjithatë, mbreti kishte filluar të dyshonte se argjendari kishte zëvendësuar pjesë të arit me argjend më të lirë, duke mbajtur për vete pjesën tjetër të arit të pastër, dhe, i paaftë ta bënte artizanin të pranonte, i kërkoi Arkimedit ta hetonte.[9] Më vonë, ndërsa po hynte në një banjë, Arkimedi thuhet se vuri re se niveli i ujit në vaskë ngrihej më shumë sa më thellë të fundosej në të, dhe duke kuptuar se ky efekt mund të përdorej për të përcaktuar vëllimin e kurorës së artë, u gëzua aq shumë sa doli në rrugë lakuriq, duke harruar të vishej, duke bërtitur "Eureka!",[b] që do të thotë "E gjeta!"[9] Sipas Vitruvit, Arkimedi më pas mori një copë ari dhe një copë argjendi, secila e barabartë në peshë me kurorën, dhe, duke i vendosur secilën në vaskë, tregoi se kurora zhvendoste më shumë ujë sesa ari dhe më pak sesa argjendi, duke demonstruar se kurora ishte ar i përzier me argjend.[9]

Një version tjetër jepet në Carmen de Ponderibus,[10] një poemë didaktike anonime latine e shekullit të 5-të mbi peshat dhe masat, dikur i atribuar gramatikanit Priscian.[9] Në këtë poemë, copat e arit dhe argjendit u vendosën në peshoret e një kandari, dhe më pas i gjithë aparati u zhyt në ujë; ndryshimi në dendësi mes arit dhe argjendit, ose mes arit dhe kurorës, e bën peshoren të anohet përkatësisht.[11] Ndryshe nga rrëfimi më i njohur i vaskës i dhënë nga Vitruvi, ky rrëfim poetik përdor parimin e hidrostatikës tani të njohur si Ligji i Arkimedit, që gjendet në traktatin e tij Për trupat pluskues, ku një trup i zhytur në një lëng përjeton një forcë pluskuese të barabartë me peshën e lëngut që zhvendos.[12] Galileo Galilei, i cili shpiku një peshore hidrostatike në 1586 i frymëzuar nga vepra e Arkimedit, e konsideroi "të mundshme që kjo metodë të jetë e njëjta që ndoqi Arkimedi, meqë, përveçse është shumë e saktë, bazohet në demonstrime të gjetura nga vetë Arkimedi."[13]

Lëshimi i Syracusia-s

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Një pjesë e madhe e punës së Arkimedit në inxhinieri lindi ndoshta nga përmbushja e nevojave të qytetit të tij të lindjes, Sirakuzës.[14] Atheneu i Naukratisit në Deipnosofistët e tij citon një farë Moskion për një përshkrim se si mbreti Hiero II porositi ndërtimin e një anijeje të madhe, Syracusia-s, e cila thuhet të ketë qenë anija më e madhe e ndërtuar në antikitetin klasik dhe, sipas rrëfimit të Moskionit, u lëshua nga Arkimedi.[15] Plutarku tregon një version paksa të ndryshëm,[16] duke thënë se Arkimedi u mburr te Hiero se ishte në gjendje të lëvizte çdo peshë të madhe, në ç'moment Hiero e sfidoi të lëvizte një anije.[17] Këto rrëfime përmbajnë shumë detaje fantastike historikisht të pabesueshme, dhe autorët e tyre japin ide kontradiktore se si u krye ky detyrë:[17] Plutarku pohon se Arkimedi ndërtoi një sistem katrorësh-dhe-litarësh, ndërsa Hero i Aleksandrisë ia atribuoi të njëjtën mburrje shpikjes së Arkimedit të quajtur baroulkos, një lloj vinçi.[18] Pappus i Aleksandrisë ia atribuoi këtë arritje, në vend të kësaj, përdorimit nga Arkimedi të avantazhit mekanik,[17] parimit të levës për të ngritur objekte që përndryshe do të kishin qenë tepër të rënda për t'u lëvizur, duke i atribuuar thënien e shpeshtcituar: "Më jepni një vend ku të qëndroj, dhe do ta lëviz Tokën."[c][19]

Atheneu, ndoshta duke ngatërruar detajet e rrëfimit të Heros mbi baroulkos-in,[20] përmend gjithashtu se Arkimedi përdori një "vidë" për të hequr çdo ujë të mundshëm që rridhte nëpër trupin e Syracusia-s. Edhe pse kjo pajisje ndonjëherë quhet vida e Arkimedit, ka mundësi që ta ketë paraprirë atë me shumë kohë, dhe asnjë nga bashkëkohësit e tij më të afërt që përshkruajnë përdorimin e saj (Filoni i Bizantit, Straboni dhe Vitruvi) nuk ia atribuojnë atij përdorimin e saj.[17]

Makinat e luftës

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Pasqyra të vendosura si reflektor parabolik për të sulmuar anijet që afroheshin

Reputacioni më i madh që fitoi Arkimedi gjatë antikitetit ishte për mbrojtjen e qytetit të tij nga romakët gjatë rrethimit të Sirakuzës.[21] Sipas Plutarkut,[22] Arkimedi kishte ndërtuar makina lufte për Hieron II, por nuk kishte pasur kurrë mundësi t'i përdorte gjatë jetës së Hieros. Në vitin 214 p.e.s., megjithatë, gjatë Luftës së Dytë Punike, kur Sirakuza ndërroi aleancën nga Roma te Kartagjena, ushtria romake nën Markus Klaudius Marcelusi u përpoq të merrte qytetin, dhe Arkimedi thuhet se mbikëqyri personalisht përdorimin e këtyre makinave lufte në mbrojtje të qytetit, duke vonuar ndjeshëm romakët, të cilët arritën ta pushtonin qytetin vetëm pas një rrethimi të gjatë.[23] Tre historianë të ndryshëm, Plutarku, Livi dhe Polibi, dëshmojnë për këto makina lufte, duke përshkruar katapulta të përmirësuara, vinça që lëshonin copa të rënda plumbi mbi anijet romake ose që përdornin një kthetër hekuri për t'i ngritur ato jashtë ujit, duke i lëshuar përsëri që të fundosen.[d][25]

Një version shumë më i pabesueshëm, që nuk gjendet në asnjë prej tre rrëfimeve më të hershme (Plutarku, Polibi ose Livi), përshkruan si Arkimedi përdori "pasqyra djegëse" për të fokusuar rrezet e diellit mbi anijet sulmuese romake, duke i vënë ato flakë.[21] Rrëfimi më i hershëm që përmend anije që vihen flakë, nga satiristi i shekullit të 2-të e.s. Lukiani nga Samosata,[26] nuk përmend pasqyra, dhe thotë vetëm se anijet u vunë flakë me mjete artificiale, gjë që mund të nënkuptojë se u përdorën predha djegëse.[21] Autori i parë që përmend pasqyrat është Galeni, duke shkruar më vonë në të njëjtin shekull.[27] Pothuajse katërqind vjet pas Lukianit dhe Galenit, Anthemius i Trales-it, përkundër skepticizmit, u përpoq të rindërtonte gjeometrinë hipotetike të reflektorit të Arkimedit.[28][29] Pajisja e supozuar, e quajtur ndonjëherë "rrezja djegëse e Arkimedit", ka qenë objekt i një debati të vazhdueshëm mbi besueshmërinë e saj që nga Rilindja.[30] René Descartes e hodhi poshtë si të rreme,[31] ndërsa studiues modernë janë përpjekur ta rikrijojnë efektin duke përdorur vetëm mjetet që do t'i kishte pasur në dispozicion Arkimedi, me rezultate të përziera.[32]

Vdekja

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Vdekja e Arkimedit (1815) nga Thomas Degeorge

Ka disa rrëfime të ndryshme mbi vdekjen e Arkimedit gjatë plaçkitjes së Sirakuzës pasi ajo ra në duart e romakëve:[33] Rrëfimi më i vjetër, nga Livi,[34] thotë se, ndërsa vizatonte figura në pluhur, Arkimedi u vra nga një ushtar romak që nuk e dinte se ishte Arkimedi. Sipas Plutarkut,[35] ushtari kërkoi që Arkimedi ta shoqëronte, por Arkimedi refuzoi, duke thënë se duhej të përfundonte punën me problemin, dhe ushtari e vrau Arkimedin me shpatën e tij. Një tregim tjetër nga Plutarku e paraqet Arkimedin duke mbartur instrumente matematikore përpara se të vritej, sepse një ushtar mendoi se ishin sende të vlefshme.[33] Një shkrimtar tjetër romak, Valerius Maximus (fl. 30 e.s.), shkroi në Memorable Doings and Sayings se fjalët e fundit të Arkimedit ndërsa ushtari po e vriste ishin "...por duke mbrojtur pluhurin me duart e tij, tha 'Të lutem, mos e prish këtë'", të cilat ngjajnë me fjalët e fundit tani zakonisht të atribuara atij, "Mos m'i prish rrathët," të cilat nuk shfaqen në asnjë burim antik.[33]

Marcelusi thuhet se ishte i zemëruar nga vdekja e Arkimedit, pasi e konsideronte atë një pasuri të çmuar shkencore (e quajti Arkimedin "një Briareus gjeometrik") dhe kishte urdhëruar që të mos i bëhej keq.[36][37] Ciceroni (106–43 p.e.s.) përmend se Marcelusi solli në Romë dy planetarë që kishte ndërtuar Arkimedi,[38] të cilët tregonin lëvizjen e Diellit, Hënës dhe pesë planetëve, njërin prej të cilëve ia dhuroi Tempullit të Virtytit në Romë, dhe tjetrin thuhet se e mbajti si plaçkën e tij të vetme personale nga Sirakuza.[39] Pappus i Aleksandrisë raporton për një traktat tashmë të humbur të Arkimedit, Për ndërtimin e sferave, i cili mund të ketë trajtuar ndërtimin e këtyre mekanizmave.[25] Ndërtimi i mekanizmave të këtij lloji do të kërkonte njohuri të sofistikuara të ingranazheve diferenciale, gjë që dikur mendohej të ishte përtej mundësive të teknologjisë së kohës së lashtë, por zbulimi në 1902 i Mekanizmit të Antikiterës, një pajisje tjetër e ndërtuar rreth vitit 100 p.e.s. e projektuar me qëllim të ngjashëm, ka konfirmuar se pajisje të këtij lloji ishin të njohura për grekët e lashtë,[40] me disa studiues që e konsiderojnë pajisjen e Arkimedit si një paraardhëse.[41][42]

Ndërsa shërbente si kuestor në Siçili, vetë Ciceroni gjeti atë që supozohej të ishte varri i Arkimedit pranë portës Agrigentine në Sirakuzë, në gjendje të neglizhuar dhe të mbuluar me shkurre. Ciceroni e pastroi varrin dhe arriti të shihte gdhendjen dhe të lexonte disa nga vargjet e shtuara si mbishkrim. Varri mbante një skulpturë që ilustronte provën e preferuar matematikore të Arkimedit, se vëllimi dhe sipërfaqja e sferës janë dy të tretat e cilindrit rrethues, përfshirë bazat e tij.[43]

Matematika

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Edhe pse shpesh konsiderohet si projektues pajisjesh mekanike, Arkimedi dha kontribute edhe në fushën e matematikës, si duke aplikuar teknikat e paraardhësve të tij për të nxjerrë rezultate të reja, ashtu edhe duke zhvilluar metoda të reja të tijat.

Metoda e shterimit

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Arkimedi llogarit brinjën e dymbëdhjetëkëndëshit nga ajo e gjashtëkëndëshit dhe për çdo dyfishim të mëpasshëm të brinjëve të shumëkëndëshit të rregullt

Në Kuadratura e parabolës, Arkimedi thotë se një propozim i caktuar në Elementet e Euklidit, që dëshmon se sipërfaqja e një rrethi është proporcionale me diametrin e tij, u vërtetua duke përdorur një lemë tani të njohur si vetia arkimediane, që "teprica me të cilën më e madhja e dy zonave të pabarabarta e tejkalon më të voglën, nëse i shtohet vetes, mund të tejkalojë çdo zonë të kufizuar të dhënë." Përpara Arkimedit, Eudoksi i Knidit dhe matematikanë të tjerë të mëparshëm[e] e aplikuan këtë lemë, një teknikë tani e quajtur "metoda e shterimit," për të gjetur vëllimin e një tetraedri, cilindri, koni dhe sfere, për të cilat provat jepen në Librin XII të Elementeve të Euklidit.[44]

Në Matja e rrethit, Arkimedi e përdori këtë metodë për të treguar se sipërfaqja e një rrethi është e njëjtë me atë të një trekëndëshi kënddrejtë, baza dhe lartësia e të cilit janë të barabarta me rrezen dhe rrethvijën e tij.[45] Më pas ai përafroi raportin mes rrezes dhe rrethvijës, vlerën e π, duke vizatuar një gjashtëkëndësh të rregullt më të madh jashtë një rrethi dhe një gjashtëkëndësh të rregullt më të vogël brenda rrethit, dhe duke dyfishuar progresivisht numrin e brinjëve të secilit shumëkëndësh të rregullt, duke llogaritur gjatësinë e një brinje të secilit shumëkëndësh në çdo hap. Ndërsa numri i brinjëve rritet, ai bëhet një përafrim më i saktë i një rrethi. Pas katër hapash të tillë, kur shumëkëndëshat kishin nga 96 brinjë secili, ai arriti të përcaktojë se vlera e π ndodhej mes 31/7 (afërsisht 3,1429) dhe 310/71 (afërsisht 3,1408), në përputhje me vlerën e saj të vërtetë prej afërsisht 3,1416.[46] Në të njëjtin traktat, ai pohon gjithashtu se vlera e rrënjës katrore të 3 ndodhet mes 265/153 (afërsisht 1,7320261) dhe 1351/780 (afërsisht 1,7320512), të cilën mund ta ketë nxjerrë me një metodë të ngjashme.[47]

Provë se sipërfaqja e segmentit parabolik në figurën e sipërme është e barabartë me 4/3 të asaj të trekëndëshit të brendashkruar në figurën e poshtme, nga Kuadratura e parabolës

Në Kuadratura e parabolës, Arkimedi e përdori këtë teknikë për të vërtetuar se sipërfaqja e mbyllur nga një parabolë dhe një vijë e drejtë është 4/3 të sipërfaqes së trekëndëshit përkatës të brendashkruar, siç tregohet në figurën djathtas, duke shprehur zgjidhjen e problemit si një seri gjeometrike të pafundme me raport të përbashkët 1/4:[48]

Nëse termi i parë në këtë seri është sipërfaqja e trekëndëshit, atëherë i dyti është shuma e sipërfaqeve të dy trekëndëshave bazat e të cilëve janë dy vijat sekante më të vogla, dhe kulmi i tretë i të cilëve është aty ku vija paralele me boshtin e parabolës që kalon nëpër mesin e bazës e pret parabolën, e kështu me radhë. Kjo provë përdor një variacion të serisë 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯, e cila mblidhet në 1/3.

Ai e përdori këtë teknikë edhe për të matur sipërfaqet e një sfere dhe koni,[49] për të llogaritur sipërfaqen e një elipsi,[50] dhe për të gjetur sipërfaqen e mbyllur brenda spirales arkimediane.[51][45]

Metoda mekanike

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Sepse është më e realizueshme, duke pasur tashmë në zotërim, nëpërmjet metodës, një njohuri të njëfarë lloji të çështjeve nën hetim, të japësh provën — sesa duke e hetuar atë pa ditur asgjë.

— Arkimedi, Metoda e teoremave mekanike[52]

Përveç zhvillimit të veprave të matematikanëve të mëparshëm me metodën e shterimit, Arkimedi gjithashtu pionieroi një teknikë të re duke përdorur ligjin e llozit për të matur sipërfaqen dhe vëllimin e formave me mjete fizike. Ai fillimisht jep një skicë të kësaj prove në Kuadratura e parabolës krahas provës gjeometrike, por jep një shpjegim më të plotë në Metoda e teoremave mekanike.[48] Sipas Arkimedit, ai i vërtetoi rezultatet në traktatet e tij matematikore fillimisht duke përdorur këtë metodë, dhe më pas punoi mbrapsht, duke aplikuar metodën e shterimit vetëm pasi kishte llogaritur tashmë një vlerë të përafërt për përgjigjen.[53]

Numrat e mëdhenj

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Arkimedi zhvilloi gjithashtu metoda për të përfaqësuar numra të mëdhenj.

Në Rërën dhe llogaritjen e saj, Arkimedi hartoi një sistem numërimi bazuar në myriadën,[f] termi grek për numrin 10.000, për të llogaritur një numër më të madh se kokrrat e rërës që nevojiten për të mbushur universin. Ai propozoi një sistem numrash që përdor fuqi të një miriade miriadash (100 milionë, d.m.th. 10.000 × 10.000) dhe konkludoi se numri i kokrrave të rërës që nevojiten për të mbushur universin do të ishte 8 vigintilion, ose 8×1063.[54] Duke bërë këtë, ai demonstroi se matematika mund të përfaqësonte numra arbitrarisht të mëdhenj.

Në Problemin e kafshëve, Arkimedi i sfidon matematikanët e Bibliotekës së Aleksandrisë të numërojnë bagëtinë në Kopenë e Diellit, gjë që përfshin zgjidhjen e një numri ekuacionesh diofantine të njëkohshme. Një version më i vështirë i problemit, në të cilin disa nga përgjigjet kërkohet të jenë numra katrorë, dhe përgjigja është një numër shumë i madh, afërsisht 7,760271×10206544.[55]

Trupi arkimedian

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Në një vepër të humbur të përshkruar nga Pappus i Aleksandrisë, Arkimedi vërtetoi se ekzistojnë saktësisht trembëdhjetë poliedra gjysmë-të-rregullta.[56]

Shkrimet

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Faqja e parë e Opera-s së Arkimedit, në greqisht dhe latinisht, redaktuar nga David Rivault (1615)

Arkimedi e bëri të njohur punën e tij nëpërmjet korrespondencës me matematikanë në Aleksandri,[57] të cilat u shkruan fillimisht në dorishten greke, dialekti i Sirakuzës së lashtë.[58]

Veprat e mbijetuara

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Këto renditen kronologjikisht bazuar në kritere të reja terminologjike dhe historike të vendosura nga Knorr (1978) dhe Sato (1986).[59][60]

Matja e rrethit

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Kjo është një vepër e shkurtër me tre propozime, e shkruar në formën e një korrespondence me Dositeun nga Peluziumi, student i Kononit të Samosit. Në Propozimin II, Arkimedi jep një përafrim të vlerës së π, duke treguar se ajo është më e madhe se 223/71 (3,1408...) dhe më e vogël se 22/7 (3,1428...).

Rëra dhe llogaritja e saj

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Në këtë traktat, i njohur gjithashtu si Psammites, Arkimedi gjen një numër më të madh se kokrrat e rërës të nevojshme për të mbushur universin. Ky libër përmend teorinë heliocentrike të Sistemit Diellor të propozuar nga Aristarku i Samosit, si dhe ide bashkëkohore mbi madhësinë e Tokës dhe distancën mes trupave qiellorë të ndryshëm, dhe përpiqet të matë diametrin e dukshëm të Diellit.[61][62] Duke përdorur një sistem numrash bazuar në fuqi të myriadës, Arkimedi konkludon se numri i kokrrave të rërës të nevojshme për të mbushur universin është 8×1063 në shënimin modern. Letra hyrëse thotë se babai i Arkimedit ishte një astronom i quajtur Fidia. Rëra dhe llogaritja e saj është vepra e vetme e mbijetuar në të cilën Arkimedi diskuton pikëpamjet e tij mbi astronominë.[63]

Arkimedi diskuton matje astronomike të Tokës, Diellit dhe Hënës, si dhe modelin heliocentrik të universit të Aristarkut, në Rërën dhe llogaritjen e saj.[64] Pa përdorur as trigonometri e as tabelë vargjesh, Arkimedi e përcakton diametrin e dukshëm të Diellit duke përshkruar fillimisht procedurën dhe instrumentin e përdorur për të bërë vëzhgime (një shufër e drejtë me tapa ose brazda),[65] duke aplikuar faktorë korrigjimi mbi këto matje, dhe në fund duke dhënë rezultatin në formën e kufijve të sipërm dhe të poshtëm për të llogaritur gabimin e vëzhgimit.[66]

Ptolemeu, duke cituar Hiparkun, i referohet gjithashtu vëzhgimeve të solsticit të Arkimedit në Almagest. Kjo do ta bënte Arkimedin grekun e parë të njohur që ka regjistruar data dhe orë të shumta solsticesh në vite të njëpasnjëshme.[4]

Për ekuilibrin e rrafsheve

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Ka dy libra të Për ekuilibrin e rrafsheve: i pari përmban shtatë postulate dhe pesëmbëdhjetë propozime, ndërsa libri i dytë përmban dhjetë propozime. Në librin e parë, Arkimedi vërteton ligjin e llozit,[67] i cili thotë se:

Madhësitë janë në ekuilibër në distanca reciprokisht proporcionale me peshat e tyre.

Përshkrime më të hershme të parimit të llozit gjenden në një vepër të Euklidit dhe në Problemet Mekanike, që i përket Shkollës Peripatetike të ndjekësve të Aristotelit, autorësia e së cilës i është atribuar nga disa Arhitit.[68]

Arkimedi i përdor parimet e nxjerra për të llogaritur sipërfaqet dhe qendrat e masës të figurave të ndryshme gjeometrike, duke përfshirë trekëndësha, paralelograme dhe parabola.[69]

Kuadratura e parabolës

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Në këtë vepër me 24 propozime drejtuar Dositeut, Arkimedi vërteton me dy metoda se sipërfaqja e mbyllur nga një parabolë dhe një vijë e drejtë është 4/3 e sipërfaqes së një trekëndëshi me bazë dhe lartësi të barabartë. Ai e arrin këtë me dy metoda të ndryshme: së pari duke aplikuar ligjin e llozit, dhe duke llogaritur vlerën e një serie gjeometrike që mblidhet në pafundësi me raport 1/4.[70]

Për sferën dhe cilindrin

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Një sferë ka 2/3 e vëllimit dhe sipërfaqes së cilindrit rrethues, përfshirë bazat e tij

Në këtë traktat me dy vëllime drejtuar Dositeut, Arkimedi arrin rezultatin me të cilin ishte më krenar, konkretisht marrëdhënien mes një sfere dhe një cilindri rrethues me të njëjtën lartësi dhe diametër. Vëllimi është 4/3πr3 për sferën, dhe 2πr3 për cilindrin. Sipërfaqja është 4πr2 për sferën, dhe 6πr2 për cilindrin (përfshirë dy bazat e tij), ku r është rrezja e sferës dhe cilindrit.[71][72]

Për spiralet

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Kjo vepër me 28 propozime është gjithashtu drejtuar Dositeut. Traktati përkufizon atë që sot quhet spiralja arkimediane.[73] Ajo është vendi gjeometrik i pikave që korrespondojnë me pozicionet me kalimin e kohës të një pike që largohet nga një pikë fikse me shpejtësi konstante përgjatë një vije që rrotullohet me shpejtësi këndore konstante. Në mënyrë ekuivalente, në koordinata polare moderne (r, θ), ajo mund të përshkruhet me ekuacionin me numra realë a dhe b.[74]

Ky është një shembull i hershëm i një kurbe mekanike (kurbë e gjurmuar nga një pikë lëvizëse) i shqyrtuar nga një matematikan grek.

Për konoidet dhe sferoidet

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Kjo është një vepër me 32 propozime drejtuar Dositeut. Në këtë traktat Arkimedi llogarit sipërfaqet dhe vëllimet e prerjeve të koneve, sferave dhe paraboloideve.[75][76]

Për trupat pluskues

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Ka dy libra të Për trupat pluskues. Në librin e parë, Arkimedi shpjegon ligjin e ekuilibrit të lëngjeve dhe vërteton se uji do të marrë formë sferike rreth një qendre mase.[77]

Ligji i Arkimedit të pluskimit jepet në këtë vepër, i formuluar si më poshtë:[78]

Çdo trup i zhytur plotësisht ose pjesërisht në një lëng përjeton një forcë ngritëse të barabartë, por të kundërt në drejtim, me peshën e lëngut të zhvendosur.

Në pjesën e dytë, ai llogarit pozicionet e ekuilibrit të prerjeve të paraboloideve. Kjo ishte ndoshta një idealizim i formave të trupave të anijeve. Disa nga prerjet e tij pluskojnë me bazën nën ujë dhe majën mbi ujë, ngjashëm me mënyrën se si pluskojnë ajsbergët.[79]

Ostomachion

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Ostomachion është një enigmë çmontimi e gjetur në Palimpsestin e Arkimedit

I njohur gjithashtu si Loculus i Arkimedit ose Kutia e Arkimedit,[80] kjo është një enigmë çmontimi e ngjashme me një Tangram, dhe traktati që e përshkruan u gjet në formë më të plotë në Palimpsestin e Arkimedit. Arkimedi llogarit sipërfaqet e 14 pjesëve, të cilat mund të montohen për të formuar një katror. Reviel Netz nga Universiteti Stanford argumentoi në 2003 se Arkimedi po përpiqej të përcaktonte në sa mënyra mund të montoheshin pjesët në formën e një katrori. Netz llogarit se pjesët mund të formojnë një katror në 17.152 mënyra.[81] Numri i rregullimeve është 536 kur përjashtohen zgjidhjet ekuivalente nga rrotullimi dhe reflektimi.[82] Enigma përfaqëson një shembull të hershëm problemi në kombinatorikë.

Origjina e emrit të enigmës nuk është e qartë, dhe është sugjeruar se rrjedh nga fjala greke e lashtë për "fyt" ose "grykë", stomachos (στόμαχος).[83] Ausonius e quan enigmën Ostomachion, një fjalë e përbërë greke e formuar nga rrënjët e osteon (ὀστέον, "kockë") dhe machē (μάχη, "luftë").[80]

Problemi i bagëtive

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Në këtë vepër, drejtuar Eratostenit dhe matematikanëve në Aleksandri, Arkimedi i sfidon të numërojnë bagëtinë në Kopenë e Diellit, gjë që përfshin zgjidhjen e një numri ekuacionesh diofantine të njëkohshme. Gotthold Ephraim Lessing e zbuloi këtë vepër në një dorëshkrim grek që përbëhej nga një poemë 44-vargjesh në Bibliotekën Herzog August në Wolfenbüttel, Gjermani, në 1773. Ekziston një version më i vështirë i problemit në të cilin disa nga përgjigjet kërkohet të jenë numra katrorë. A. Amthor e zgjidhi i pari këtë version të problemit[84] në 1880, dhe përgjigja është një numër shumë i madh, afërsisht 7,760271×10206544.[55]

Metoda e teoremave mekanike

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Ashtu si Problemi i bagëtive, Metoda e teoremave mekanike u shkrua në formën e një letre drejtuar Eratostenit në Aleksandri.

Në këtë vepër Arkimedi përdor një metodë të re, një formë e hershme e parimit të Kavalierit,[85] për të rinxjerrë rezultatet nga traktatet dërguar Dositeut (Kuadratura e parabolës, Për sferën dhe cilindrin, Për spiralet, Për konoidet dhe sferoidet) që kishte përdorur më parë metodën e shterimit për t'i vërtetuar,[86] duke përdorur ligjin e llozit që aplikoi në Për ekuilibrin e rrafsheve për të gjetur së pari qendrën e gravitetit të një objekti, dhe duke arsyetuar gjeometrikisht nga aty për të nxjerrë më lehtë vëllimin e një objekti.[87] Arkimedi thotë se e përdori këtë metodë për të nxjerrë rezultatet në traktatet dërguar Dositeut përpara se t'i vërtetonte më rigorozisht me metodën e shterimit, duke thënë se është e dobishme të dish që një rezultat është i vërtetë përpara se ta vërtetosh rigorozisht, ashtu siç Eudoksi i Knidit u ndihmua në vërtetimin se vëllimi i një koni është një e treta e vëllimit të një cilindri duke ditur se Demokriti e kishte pohuar tashmë këtë të vërtetë me argumentin se kjo është e vërtetë nga fakti që piramida ka një të tretën e prizmit drejtkëndor me të njëjtën bazë.[88]

Ky traktat u konsiderua i humbur deri në zbulimin e Palimpsestit të Arkimedit në 1906.[89]

Veprat apokrife

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Libri i lemave të Arkimedit, ose Liber Assumptorum, është një traktat me 15 propozime mbi natyrën e rrathëve. Kopja më e hershme e njohur e tekstit është në arabisht. T. L. Heath argumentoi se nuk mund të jetë shkruar nga Arkimedi në formën e tij aktuale, meqë e citon Arkimedin me emër, duke sugjeruar se lemat u përpiluan nga një autor i mëvonshëm. Ai mendonte se idetë e saj, si Arbelos, ishin me origjinë arkimediane.[90] Tannery supozon se nëse një vepër e tillë ekzistoi njëherë, ajo ishte humbur tashmë në kohën e Pappusit, i cili vendosi lema të ngjashme në Përmbledhjen e tij, duke i quajtur ato "të lashta dhe nga vepra të ndryshme".[91][92]

Atribuime të tjera të diskutueshme te vepra e Arkimedit përfshijnë poemën latine Carmen de ponderibus et mensuris (shekulli 4 ose 5), që përshkruan përdorimin e një peshoreje hidrostatike për të zgjidhur problemin e kurorës, dhe tekstin e shekullit të 12-të Mappae clavicula, që përmban udhëzime se si të kryhet analiza e metaleve duke llogaritur peshën e tyre specifike.[93][94]

Veprat e humbura

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Shumë vepra të shkruara nga Arkimedi nuk kanë mbijetuar ose ekzistojnë vetëm në fragmente shumë të redaktuara:[95] Pappus i Aleksandrisë përmend Për ndërtimin e sferave, si dhe një vepër mbi poliedrat gjysmë-të-rregullta, dhe një vepër tjetër mbi spiralet, ndërsa Teoni i Aleksandrisë citon një vërejtje mbi refraksionin nga Catoptrica tashmë e humbur. Parimet, drejtuar Zeuksipit, shpjegonte sistemin numerik të përdorur në Rërën dhe llogaritjen e saj; ka gjithashtu Për peshoret; Për qendrat e gravitetit.[95]

Studiues në botën mesjetare islame i atribuojnë gjithashtu Arkimedit një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi nga gjatësia e brinjëve të tij, e njohur sot si formula e Heronit për shkak të shfaqjes së saj të parë të njohur në veprën e Heros së Aleksandrisë në shekullin e 1-rë e.s., dhe mund të jetë vërtetuar në një vepër të humbur të Arkimedit që nuk ekziston më.[96]

Palimpsesti i Arkimedit

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Në 1906, Palimpsesti i Arkimedit zbuloi vepra të Arkimedit që mendoheshin të humbura

Në 1906, profesori danez Johan Ludvig Heiberg vizitoi Kostandinopojën për të ekzaminuar një pergamenë lëkure dhie 174-faqesh me lutje, të shkruar në shekullin e 13-të, pasi lexoi një transkriptim të shkurtër të botuar shtatë vjet më parë nga Papadopoulos-Kerameus.[97][98] Ai konfirmoi se ishte në të vërtetë një palimpsest, një dokument me tekst që ishte shkruar mbi një vepër më të vjetër të fshirë. Palimpsestet krijoheshin duke gërvishtur bojën nga veprat ekzistuese dhe duke i ripërdorur ato, një praktikë e zakonshme në Mesjetë, pasi pergamena ishte e shtrenjtë. Veprat më të vjetra në palimpsest u identifikuan nga studiuesit si kopje të shekullit të 10-të të traktateve më parë të humbura të Arkimedit.[97][99] Palimpsesti përmban shtatë traktate, përfshirë kopjen e vetme të mbijetuar të Për trupat pluskues në greqishten origjinale. Është burimi i vetëm i njohur i Metoda e teoremave mekanike, përmendur nga Suda dhe menduar se ishte humbur përgjithmonë. Stomachion u zbulua gjithashtu në palimpsest, me një analizë më të plotë të enigmës sesa ishte gjetur në tekstet e mëparshme.

Traktatet në Palimpsestin e Arkimedit përfshijnë:

  • Për ekuilibrin e rrafsheve
  • Për spiralet
  • Matja e rrethit
  • Për sferën dhe cilindrin
  • Për trupat pluskues
  • Metoda e teoremave mekanike
  • Stomachion
  • Fjalime nga politikani i shekullit të 4-t p.e.s. Hypereides
  • Një koment mbi Kategoritë e Aristotelit
  • Vepra të tjera

Pergamena kaloi qindra vjet në bibliotekën e një manastiri në Kostandinopojë përpara se t'i shitej një koleksionisti privat në vitet 1920. Më 29 tetor 1998, u shit në ankand tek një blerës anonim për një total prej 2,2 milionë dollarësh.[100][101] Palimpsesti u ruajt në Muzeun e Artit Walters në Baltimore, Maryland, ku iu nënshtrua një sërë testesh moderne, përfshirë përdorimin e dritës ultravjollcë dhe rrezeve X për të lexuar tekstin e mbishkruar.[102] Që atëherë i është kthyer pronarit të tij anonim.[103][104]

Trashëgimia

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Statujë prej bronzi e Arkimedit në Berlin

Nganjëherë i quajtur ati i matematikës[105] dhe i fizikës matematikore,[106] historianët e shkencës dhe matematikës pajtohen pothuajse universalisht se Arkimedi ishte matematikani më i shquar i antikitetit.[107]

Antikiteti klasik

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Reputacioni që kishte Arkimedi për shpikjet mekanike në antikitetin klasik është mirë i dokumentuar;[108] Atheneu[109] rrëfen në Deipnosofistët e tij se si Arkimedi lëshoi anijen më të madhe të njohur në antikitet, Syracusia-n, ndërsa Apuleius[110] flet për punën e tij në katoptrikë.[111] Plutarku[112] kishte pohuar se Arkimedi e përbuzte mekanikën dhe fokusohej kryesisht në gjeometrinë e pastër, por kjo konsiderohet përgjithësisht si një keqkarakterizim nga studiuesit modernë, i trilluar për të mbështetur vlerat e veta platoniste të Plutarkut sesa për të dhënë një paraqitje të saktë të Arkimedit.[113]

Mesjeta

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Vepra e Arkimedit u përkthye në arabisht nga Thābit ibn Qurra, dhe në latinisht nëpërmjet arabishtes nga Gerardi nga Cremona. Përkthime direkte nga greqishtja në latinisht u bënë më vonë nga Uilliami i Moerbekes dhe Iacobus Cremonensis.[114][115]

Rilindja dhe Evropa e hershme moderne

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Vizatim i vitit 1612 i një monedhe bronzi tashmë të humbur që përshkruan Arkimedin

Gjatë Rilindjes, Editio princeps (Botimi i Parë) u botua në Bazel në 1544 nga Johann Herwagen, me veprat e Arkimedit në greqisht dhe latinisht,[116] të cilat ishin një burim me ndikim idesh për shkencëtarët gjatë Rilindjes dhe përsëri në shekullin e 17-të.[117][118]

Leonardo da Vinçi shprehu vazhdimisht admirim për Arkimedin, dhe ia atribuoi shpikjen e tij Architonnerre Arkimedit.[119][120][121] Galileo Galilei e quajti "mbinjerëzor" dhe "mësuesin tim",[122][123] ndërsa Christiaan Huygens tha, "Mendoj se Arkimedi nuk krahasohet me askënd," duke e emuluar vetëdijshëm në punën e tij të hershme.[124] Gottfried Wilhelm Leibniz tha, "Ai që e kupton Arkimedin dhe Apollonin do t'i admirojë më pak arritjet e njerëzve më të shquar të kohëve të mëvonshme".[125]

Numizmati dhe arkeologu italian Filippo Paruta dhe Leonardo Agostini raportuan për një monedhë bronzi në Siçili me portretin e Arkimedit në faqen e përparme dhe një cilindër e sferë me monogramin ARMD në latinisht në faqen e pasme.[126] Edhe pse monedha tani është e humbur dhe data e saj nuk dihet me saktësi, Ivo Schneider e përshkroi faqen e pasme si "një sferë që qëndron mbi një bazë – ndoshta një imazh i përafërt i një prej planetarëve të krijuar nga Arkimedi," dhe sugjeroi se mund të ishte prerë në Romë për Marcelusin, i cili "sipas raporteve të lashta, solli me vete në Romë dy sfera të Arkimedit".[127]

Në matematikën moderne

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Medalja Fields mban një portret të Arkimedit.

Heronjtë e Carl Friedrich Gaussit ishin Arkimedi dhe Isak Njutoni,[128] dhe Moritz Cantor, i cili studioi nën Gaussin në Universitetin e Göttingenit, raportoi se dikur ai vërejti në bisedë se "kishte pasur vetëm tre matematikanë epokëkrijues: Arkimedin, Njutonin, dhe Eisensteinin".[129] Po ashtu, Alfred North Whitehead tha se "në vitin 1500 Evropa dinte më pak sesa Arkimedi, i cili vdiq në vitin 212 p.e.s."[130] Historiani i matematikës Reviel Netz,[131] duke jehuar shpalljen e Whiteheadit mbi Platonin dhe filozofinë, tha se "shkenca perëndimore nuk është veçse një seri shënimesh në fund të faqes për Arkimedin," duke e quajtur atë "shkencëtari më i rëndësishëm që ka jetuar ndonjëherë." dhe Eric Temple Bell,[132] shkroi se "Çdo listë e tre matematikanëve më të 'mëdhenj' të gjithë historisë do të përfshinte emrin e Arkimedit. Dy të tjerët zakonisht të lidhur me të janë Njutoni dhe Gaussi. Disa, duke marrë parasysh pasurinë — ose varfërinë — relative të matematikës dhe shkencës fizike në epokat përkatëse në të cilat jetuan këta gjigantë, dhe duke vlerësuar arritjet e tyre kundrejt sfondit të kohës së tyre, do ta vinin Arkimedin të parin."

Zbulimi në 1906 i veprave më parë të humbura të Arkimedit në Palimpsestin e Arkimedit ka dhënë njohuri të reja se si ai i mori rezultatet e tij matematikore.[133][134]

Medalja Fields për arritje të shquara në matematikë mban një portret të Arkimedit, së bashku me një gdhendje që ilustron provën e tij mbi sferën dhe cilindrin. Mbishkrimi rreth kokës së Arkimedit është një citim i atribuar poetit të shekullit të 1-rë e.s. Manilius, që thotë në latinisht: Transire suum pectus mundoque potiri ("Ngrihu përtej vetes dhe zotëro botën").[135][136][137]

Ndikimi kulturor

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Anija e parë oqeanike me avull në botë me helikë propeluese ishte SS Archimedes, e cila u lëshua në 1839 dhe u quajt në nder të Arkimedit dhe punës së tij mbi vidën.[138]

Arkimedi ka figuruar gjithashtu në pulla postare të lëshuara nga Gjermania Lindore (1973), Greqia (1983), Italia (1983), Nikaragua (1971), San Marino (1982), dhe Spanja (1963).[139]

Britma "Eureka!" e atribuar Arkimedit është motoja shtetërore e Kalifornisë. Në këtë rast, fjala i referohet zbulimit të arit pranë Mullirit të Sutter-it në 1848, që nxiti vrapimin e artë të Kalifornisë.[140]

Ekziston një kraterë në Hënë e quajtur Arkimedi (29°42′N 4°00′W / 29.7°N 4.0°W / 29.7; -4.0) në nder të tij,[141] si dhe një vargmal hënor, Montes Archimedes (25°18′N 4°36′W / 25.3°N 4.6°W / 25.3; -4.6).[142]

Shënime

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Fusnota

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
  1. ↑ greqishtja e vjetër dorike: Ἀρχιμήδης
  2. ↑ greqisht: "εὕρηκα" — heúrēka
  3. ↑ greqisht: δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω
  4. ↑ Ka pasur eksperimente moderne për të testuar realizueshmërinë e kthetrës, dhe në 2005 një dokumentar televiziv i titulluar Superweapons of the Ancient World ndërtoi një version të kthetrës dhe konkludoi se ishte një pajisje e realizueshme.[24]
  5. ↑ Edhe pse Eudoksi shpesh kreditohet për tërë Librin XII të Euklidit, Arkimedi e krediton shprehimisht vetëm për provat e XII.7 dhe XII.10, se vëllimi i një piramide dhe i një koni janë, përkatësisht, një e treta e vëllimit të prizmit drejtkëndor dhe konit me të njëjtën bazë dhe lartësi.Acerbi 2018, f. 279
  6. ↑ greqisht: μυριάς — murias

Referime

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
  1. ↑ Commentarius in dimensionem circuli (Archimedis opera omnia ed. Heiberg-Stamatis (1915), vëll. 3, f. 228); Commentaria in conica (Apollonii Pergaei quae Graece exstant, ed. Heiberg (1893) vëll. 2, f. 168: "Hērakleios"
  2. ↑ Plutarku, Jeta e Marcelusit
  3. ↑ Dijksterhuis 1987, f. 10.
  4. 1 2 Acerbi, Fabio (2008). "Archimedes". New Dictionary of Scientific Biography (në anglisht). Vëll. I. Detroit: Scribner. fq. 85–91.
  5. ↑ Dijksterhuis 1987, ff. 11–12.
  6. ↑ Archimedes to Dositheus greeting, On Spirals Marrë më 2025-12-03
  7. ↑ Dijksterhuis 1987, f. 18.
  8. ↑ Vitruvi, De Architectura, Libri IX, 3
  9. 1 2 3 4 Dijksterhuis 1987, f. 19.
  10. ↑ Metrologicorum Scriptorum reliquiae, red. F. Hultsch (Leipzig 1864), II, 88
  11. ↑ Carmen de Ponderibus, rreshtat 124-162
  12. ↑ Dijksterhuis 1987, ff. 20–21.
  13. ↑ Van Helden, Al. "The Galileo Project: Hydrostatic Balance" (në anglisht). Rice University. Marrë më 2007-09-14.
  14. ↑ Dijksterhuis 1987, f. 14.
  15. ↑ Atheneu, Deipnosofistët, V.40-45
  16. ↑ Plutarku, Jeta e Marcelusit 7-8
  17. 1 2 3 4 Dijksterhuis 1987, f. 15.
  18. ↑ Heronis Opera Vëll II, 1, 256, III 306
  19. ↑ Pappus i Aleksandrisë, Synagoge Libri VIII
  20. ↑ Dijksterhuis 1987, f. 16.
  21. 1 2 3 Dijksterhuis 1987, ff. 28–29.
  22. ↑ Jeta e Marcelusit, 25-27
  23. ↑ Dijksterhuis 1987, ff. 26, 28.
  24. ↑ Carroll, Bradley W. "Archimedes' Claw: watch an animation" (në anglisht). Weber State University. Marrë më 2007-08-12.
  25. 1 2 Dijksterhuis 1987, f. 27.
  26. ↑ Lukiani, Hippias, ¶ 2, në Lucian, vëll. 1, red. A. M. Harmon, Harvard, 1913, f. 36–37
  27. ↑ Galeni, On temperaments 3.2
  28. ↑ Anthemius i Trales-it, On miraculous engines 153.
  29. ↑ Knorr, Wilbur (1983). "The Geometry of Burning-Mirrors in Antiquity". Isis (në anglisht). 74 (1): 53–73. doi:10.1086/353176.
  30. ↑ Simms, D. L. (1977). "Archimedes and the Burning Mirrors of Syracuse". Technology and Culture (në anglisht). 18 (1): 1–24. doi:10.2307/3103202. JSTOR 3103202.
  31. ↑ John Wesley. "A Compendium of Natural Philosophy (1810) Chapter XII, Burning Glasses" (në anglisht). Online text at Wesley Center for Applied Theology. Marrë më 2007-09-14.
  32. ↑ Jaeger, Mary (2017). "Archimedes in the 21st century imagination". përmbledhur nga Rorres, Chris (red.). Archimedes in the 21st Century: Proceedings of a World Conference at the Courant Institute of Mathematical Sciences. Trends in the History of Science (në anglisht). Birkhäuser. fq. 143–152. doi:10.1007/978-3-319-58059-3_8. ISBN 978-3-319-58059-3. Shih f. 144.
  33. 1 2 3 Dijksterhuis 1987, ff. 30–31.
  34. ↑ Livi, Ab Urbe Condita Libri XXV, 31
  35. ↑ Jeta e Marcelusit, XIX, 1
  36. ↑ Plutarku, Jetët Paralele
  37. ↑ Jaeger, Mary. Archimedes and the Roman Imagination. f. 113.
  38. ↑ Dijksterhuis 1987, ff. 23–25.
  39. ↑ Ciceroni, De republica
  40. ↑ Rorres, Chris. "Spheres and Planetaria" (në anglisht). Courant Institute of Mathematical Sciences. Marrë më 2007-07-23.
  41. ↑ Freeth, Tony (2022). "Wonder of the Ancient World". Scientific American (në anglisht). 32 (1): 24. doi:10.1038/scientificamerican0122-24. PMID 39016582.
  42. ↑ "The Antikythera Mechanism II" (në anglisht). Stony Brook University. Marrë më 2013-12-25.
  43. ↑ Rorres, Chris. "Tomb of Archimedes: Sources" (në anglisht). Courant Institute of Mathematical Sciences. Marrë më 2007-01-02.
  44. ↑ Acerbi 2018, f. 279.
  45. 1 2 Acerbi 2018, f. 280.
  46. ↑ McKeeman, Bill. "The Computation of Pi by Archimedes". Matlab Central (në anglisht). Arkivuar nga origjinali më 25 shkurt 2013. Marrë më 2012-10-30.
  47. ↑ Miel, G (1983). "Of Calculations Past and Present: The Archimedean Algorithm". The American Mathematical Monthly (në anglisht). 90 (1): 17–35. doi:10.1080/00029890.1983.11971147. JSTOR 2975687.
  48. 1 2 Netz 2022, f. 139.
  49. ↑ Për sferën dhe cilindrin 13-14, 33-34, 42, 44
  50. ↑ On Conoids and Spheroids 4
  51. ↑ Për spiralet, 24-25
  52. ↑ Netz, Noel, Tchernetska, Wilson. "Archimedes Palimpsest" f. 71
  53. ↑ Netz 2022, f. 187.
  54. ↑ Carroll, Bradley W. "The Sand Reckoner" (në anglisht). Weber State University. Marrë më 2007-07-23.
  55. 1 2 Calkins, Keith G. "Archimedes' Problema Bovinum" (në anglisht). Andrews University. Marrë më 2007-09-14.
  56. ↑ Netz 2022, f. 133.
  57. ↑ Acerbi 2018.
  58. ↑ Wilson, Nigel Guy (2006). Encyclopedia of Ancient Greece (në anglisht). Psychology Press. fq. 77. ISBN 978-0-7945-0225-6. Marrë më 2025-04-29.
  59. ↑ Knorr, W. R. (1978). "Archimedes and the Elements: Proposal for a Revised Chronological Ordering of the Archimedean Corpus". Archive for History of Exact Sciences (në anglisht). 19 (3): 211–290. doi:10.1007/BF00357582. JSTOR 41133526.
  60. ↑ Sato, T. (1986). "A Reconstruction of The Method Proposition 17, and the Development of Archimedes' Thought on Quadrature...Part One". Historia scientiarum: International journal of the History of Science Society of Japan (në anglisht).
  61. ↑ Osborne, Catherine (1983). "Archimedes on the Dimensions of the Cosmos". Isis (në anglisht). 74 (2): 234–242. doi:10.1086/353246. JSTOR 233105.
  62. ↑ Rozelot, Jean Pierre; Kosovichev, Alexander G.; Kilcik, Ali (2016), A brief history of the solar diameter measurements: a critical quality assessment of the existing data (në anglisht), arXiv:1609.02710
  63. ↑ "English translation of The Sand Reckoner" (në anglisht). University of Waterloo. 2002. Arkivuar nga origjinali më 11 gusht 2007. Marrë më 1 gusht 2026. Përshtatur nga Newman, James R. (1956). The World of Mathematics (në anglisht). Vëll. 1. New York: Simon & Schuster.
  64. ↑ Toomer, G. J.; Jones, Alexander (2016-03-07). "Astronomical Instruments". Oxford Research Encyclopedia of Classics (në anglisht). doi:10.1093/acrefore/9780199381135.013.886. ISBN 978-0-19-938113-5.
  65. ↑ Evans, James (1999-08-01). "The Material Culture of Greek Astronomy". Journal for the History of Astronomy (në anglisht). 30 (3): 238–307. Bibcode:1999JHA....30..237E. doi:10.1177/002182869903000305.
  66. ↑ Shapiro, A. E. (1975). "Archimedes's measurement of the Sun's apparent diameter". Journal for the History of Astronomy (në anglisht). 6 (2): 75–83. Bibcode:1975JHA.....6...75S. doi:10.1177/002182867500600201.
  67. ↑ Goe, G. (1972). "Archimedes' theory of the lever and Mach's critique". Studies in History and Philosophy of Science Part A (në anglisht). 2 (4): 329–345. Bibcode:1972SHPSA...2..329G. doi:10.1016/0039-3681(72)90002-7.
  68. ↑ Clagett, Marshall (2001). Greek Science in Antiquity (në anglisht). Dover Publications. ISBN 978-0-486-41973-2.
  69. ↑ Heath, T.L. (1897). The Works of Archimedes (në anglisht). Cambridge University Press.
  70. ↑ Archimedes (1897). Heath (red.). The works of Archimedes (në anglisht). Dover., faqe 233
  71. ↑ Archimedes (1897). Heath (red.). The works of Archimedes (në anglisht). Dover., faqe 1
  72. ↑ Netz, Reviel, red. (2004). The Works of Archimedes (në anglisht). Vëll. I: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511482557. ISBN 0-521-66160-9.
  73. ↑ Netz, Reviel, red. (2017). The Works of Archimedes: Translation and Commentary (në anglisht). Vëll. II: On Spirals. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781139019279. ISBN 978-0-521-66145-4.
  74. ↑ Archimedes (1897). Heath (red.). The works of Archimedes (në anglisht). Dover., faqe 151
  75. ↑ Archimedes (1897). Heath (red.). The works of Archimedes (në anglisht). Dover., faqe 99
  76. ↑ Saito, Ken (2013). "Archimedes and double contradiction proof". Lettera Matematica International Edition (në anglisht). 1 (3): 97–104. doi:10.1007/s40329-013-0017-x.
  77. ↑ Berggren, J. L. (1976). "Spurious Theorems in Archimedes' Equilibrium of Planes: Book I". Archive for History of Exact Sciences (në anglisht). 16 (2): 87–103. doi:10.1007/BF00349632. JSTOR 41133463.
  78. ↑ Netz, Reviel (2017). "Archimedes' Liquid Bodies". përmbledhur nga Buchheim, Thomas; Meißner, David; Wachsmann, Nora (red.). ΣΩΜΑ: Körperkonzepte und körperliche Existenz in der antiken Philosophie und Literatur (në anglisht). Hamburg: Felix Meiner. fq. 287–322. ISBN 978-3-7873-2928-1.
  79. ↑ Stein, Sherman (2004). "Archimedes and his floating paraboloids". përmbledhur nga Hayes, David F.; Shubin, Tatiana (red.). Mathematical Adventures for Students and Amateurs (në anglisht). Washington: Mathematical Association of America. fq. 219–231. ISBN 0-88385-548-8.
    Rorres, Chris (2004). "Completing Book II of Archimedes's on Floating Bodies". The Mathematical Intelligencer (në anglisht). 26 (3): 32–42. doi:10.1007/bf02986750.
    Girstmair, Kurt; Kirchner, Gerhard (2008). "Towards a completion of Archimedes' treatise on floating bodies". Expositiones Mathematicae (në anglisht). 26 (3): 219–236. doi:10.1016/j.exmath.2007.11.002.
  80. 1 2 "Graeco Roman Puzzles" (në anglisht). Gianni A. Sarcone and Marie J. Waeber. Marrë më 2008-05-09.
  81. ↑ Kolata, Gina (2003-12-14). "In Archimedes' Puzzle, a New Eureka Moment". The New York Times (në anglisht). Marrë më 2007-07-23.
  82. ↑ Ed Pegg Jr. (2003-11-17). "The Loculus of Archimedes, Solved" (në anglisht). Mathematical Association of America. Marrë më 2008-05-18.
  83. ↑ Rorres, Chris. "Archimedes' Stomachion" (në anglisht). Courant Institute of Mathematical Sciences. Marrë më 2007-09-14.
  84. ↑ Krumbiegel, B. dhe Amthor, A. Das Problema Bovinum des Archimedes, Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik 25 (1880) f. 121–136, 153–171.
  85. ↑ Powers, J. (2020). "Did Archimedes do calculus?" (PDF). maa.org (në anglisht). Arkivuar nga origjinali (PDF) më 4 qershor 2026. Marrë më 2021-04-14.
    Jullien, V. (2015), "Archimedes and Indivisibles", përmbledhur nga J., Vincent (red.), Seventeenth-Century Indivisibles Revisited, Science Networks. Historical Studies (në anglisht), vëll. 49, Cham: Springer International Publishing, fq. 451–457, doi:10.1007/978-3-319-00131-9_18, ISBN 978-3-319-00131-9
    Kirfel, Christoph (2013). "A generalisation of Archimedes' method". The Mathematical Gazette (në anglisht). 97 (538): 43–52. doi:10.1017/S0025557200005416. JSTOR 24496758.
  86. ↑ Netz 2022, f. 131.
  87. ↑ Netz 2022, ff. 187–193.
  88. ↑ Netz 2022, ff. 150–151.
  89. ↑ Smith, David Eugene (1909). Geometrical Solutions Derived from Mechanics: A Treatise of Archimedes (në anglisht). Open Court Publishing Company. Marrë më 2025-05-04.
  90. ↑ Heath, Thomas Little (1897), The Works of Archimedes (në anglisht), Cambridge University Press, fq. xxxii
  91. ↑ Pappus i Aleksandrisë, Collection IV (në anglisht), fq. 1
  92. ↑ Tannery, Paul (1887), La Géométrie grecque (në frëngjisht), fq. 162
  93. ↑ Dilke, Oswald A. W. 1990. [Pa titull]. Gnomon 62(8):697–699. JSTOR 27690606
  94. ↑ Berthelot, Marcel. 1891. "Sur l histoire de la balance hydrostatique et de quelques autres appareils et procédés scientifiques." Annales de Chimie et de Physique 6(23):475–485.
  95. 1 2 Netz 2022, ff. 133–135.
  96. ↑ Netz 2022, ff. 135–136.
  97. 1 2 Wilson, Nigel (2004). "The Archimedes Palimpsest: A Progress Report". The Journal of the Walters Art Museum (në anglisht). 62: 61–68. JSTOR 20168629.
  98. ↑ Easton, R. L.; Noel, W. (2010). "Infinite Possibilities: Ten Years of Study of the Archimedes Palimpsest". Proceedings of the American Philosophical Society (në anglisht). 154 (1): 50–76. JSTOR 20721527.
  99. ↑ Miller, Mary K. (2007-03). "Reading Between the Lines". Smithsonian (në anglisht). {{cite magazine}}: Shiko vlerat e datave në: |date= (Ndihmë!)
  100. ↑ "Rare work by Archimedes sells for $2 million" (në anglisht). CNN. 1998-10-29. Arkivuar nga origjinali më 16 maj 2008. Marrë më 2008-01-15.
  101. ↑ Christie's (pa datë). Rezultatet e ankandit
  102. ↑ "X-rays reveal Archimedes' secrets" (në anglisht). BBC News. 2006-08-02. Marrë më 2007-07-23.
  103. ↑ Piñar, G.; Sterflinger, K.; Ettenauer, J.; Quandt, A.; Pinzari, F. (2015). "A Combined Approach to Assess the Microbial Contamination of the Archimedes Palimpsest". Microbial Ecology (në anglisht). 69 (1): 118–134. doi:10.1007/s00248-014-0481-7. PMC 4287661. PMID 25135817.
  104. ↑ Acerbi, F. (2013). "Review: R. Netz, W. Noel, N. Tchernetska, N. Wilson (eds.), The Archimedes Palimpsest, 2001". Aestimatio (në anglisht). 10: 34–46.
  105. ↑ Ati i matematikës: Jane Muir, Of Men and Numbers: The Story of the Great Mathematicians, f. 19.
  106. ↑ James H. Williams Jr., Fundamentals of Applied Dynamics, f. 30., Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach, A History of Mathematics, f. 111., Stuart Hollingdale, Makers of Mathematics, f. 67., Igor Ushakov, In the Beginning, Was the Number (2), f. 114.
  107. ↑ "Archimedes of Syracuse" (në anglisht). MacTutor History of Mathematics archive. 1999.
    Hirshfeld, Alan (2009). Eureka Man: The Life and Legacy of Archimedes (në anglisht). Bloomsbury Publishing. fq. 206. ISBN 978-0-8027-1979-9.
  108. ↑ Drachmann, A. G. (1968). "Archimedes and the Science of Physics". Centaurus (në anglisht). 12 (1): 1–11. Bibcode:1968Cent...12....1D. doi:10.1111/j.1600-0498.1968.tb00074.x.
  109. ↑ Deipnosofistët, V, 206d)
  110. ↑ Apologia, 16
  111. ↑ Russo, L. (2013). "Archimedes between legend and fact". Lettera Matematica (në anglisht). 1 (3): 91–95. doi:10.1007/s40329-013-0016-y.
  112. ↑ Plutarku, Jetët Paralele
  113. ↑ Carrier, Richard (2008). Attitudes toward the natural philosopher in the early Roman empire (100 B.C. to 313 A.D.) (Tezë) (në anglisht). Marrë më 2021-04-06.
  114. ↑ Clagett, Marshall (1982). "William of Moerbeke: Translator of Archimedes". Proceedings of the American Philosophical Society (në anglisht). 126 (5): 356–366. JSTOR 986212.
  115. ↑ Clagett, Marshall (1959). "The Impact of Archimedes on Medieval Science". Isis (në anglisht). 50 (4): 419–429. doi:10.1086/348797.
  116. ↑ "Editions of Archimedes's Work" (në anglisht). Brown University Library. 1999.
  117. ↑ Høyrup, Jens (2017). "Archimedes: Knowledge and Lore from Latin Antiquity to the Outgoing European Renaissance" (PDF). Gaņita Bhāratī (në anglisht). 39 (1): 1–22.
  118. ↑ Leahy, A. (2018). "The method of Archimedes in the seventeenth century". The American Monthly (në anglisht). 125 (3): 267–272. doi:10.1080/00029890.2018.1413857.
  119. ↑ "The Steam-Engine". Nelson Examiner and New Zealand Chronicle (në anglisht). Vëll. I no. 11. Nelson: National Library of New Zealand. 1842-05-21. fq. 43. Marrë më 2011-02-14.
  120. ↑ The Steam Engine (në anglisht). The Penny Magazine. 1838. fq. 104.
  121. ↑ Robert Henry Thurston (1996). A History of the Growth of the Steam-Engine (në anglisht). Elibron. fq. 12. ISBN 1-4021-6205-7.
  122. ↑ Matthews, Michael. Time for Science Education: How Teaching the History and Philosophy of Pendulum Motion Can Contribute to Science Literacy. f. 96.
  123. ↑ "Archimedes – Galileo Galilei and Archimedes". exhibits.museogalileo.it (në anglisht). Marrë më 2021-06-16.
  124. ↑ Yoder, J. (1996). "Following in the footsteps of geometry: the mathematical world of Christiaan Huygens". De Zeventiende Eeuw. Jaargang 12 (në anglisht).
  125. ↑ Boyer, Carl B., dhe Uta C. Merzbach. 1968. A History of Mathematics. kap. 7.
  126. ↑ Paruta, Filippo; Agostini, Leonardo (1697). La Sicilia descritta con medaglie [Siçilia e përshkruar me medalje] (PDF) (në italisht). Marco Maier. fq. 73, 326. Marrë më 2025-01-20.
  127. ↑ Schneider, Ivo (1979). Archimedes. Ingenieur, Naturwissenschaftler und Mathematiker [Arkimedi. Inxhinier, shkencëtar natyror dhe matematikan] (në gjermanisht). Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. fq. 19, 23. ISBN 3-534-06844-0.
  128. ↑ Jay Goldman, The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory, f. 88.
  129. ↑ E.T. Bell, Men of Mathematics, f. 237
  130. ↑ Alfred North Whitehead. "The Influence of Western Medieval Culture Upon the Development of Modern Science" (në anglisht). Marrë më 2022-04-04.
  131. ↑ Reviel Netz, William Noel, The Archimedes Codex: Revealing The Secrets of the World's Greatest Palimpsest
  132. ↑ E.T. Bell, Men of Mathematics, f. 20.
  133. ↑ "Works, Archimedes" (në anglisht). University of Oklahoma. 2015-06-23. Marrë më 2019-06-18.
  134. ↑ Paipetis, Stephanos A.; Ceccarelli, Marco, red. (2010-06-08/10). The Genius of Archimedes – 23 Centuries of Influence on Mathematics, Science and Engineering: Proceedings of an International Conference held at Syracuse, Italy. History of Mechanism and Machine Science (në anglisht). Vëll. 11. Springer. doi:10.1007/978-90-481-9091-1. ISBN 978-90-481-9091-1. {{cite book}}: Shiko vlerat e datave në: |date= (Ndihmë!)
  135. ↑ Riehm, C. (2002). "The early history of the Fields Medal" (PDF). Notices of the AMS (në anglisht). 49 (7): 778–782.
  136. ↑ "The Fields Medal". Fields Institute for Research in Mathematical Sciences (në anglisht). 2015-02-05. Marrë më 2021-04-23.
  137. ↑ "Fields Medal" (në anglisht). International Mathematical Union. Marrë më 2021-04-23.
  138. ↑ "SS Archimedes" (në anglisht). wrecksite.eu. Marrë më 2011-01-22.
  139. ↑ Rorres, Chris. "Stamps of Archimedes" (në anglisht). Courant Institute of Mathematical Sciences. Marrë më 2007-08-25.
  140. ↑ "California Symbols" (në anglisht). California State Capitol Museum. Arkivuar nga origjinali më 12 tetor 2007. Marrë më 2007-09-14.
  141. ↑ "Gazetteer of Planetary Nomenclature" (në anglisht). USGS. Marrë më 2025-01-20.
  142. ↑ Friedlander, Jay; Williams, Dave. "Oblique view of Archimedes crater on the Moon" (në anglisht). NASA. Marrë më 2007-09-13.

Referime

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Dëshmi antike

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Burime moderne

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Lexime shtesë

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
  • Clagett, Marshall. 1964–1984. Archimedes in the Middle Ages 5 vëllime. Madison, WI: University of Wisconsin Press.
  • Clagett, Marshall. 1970. "Archimedes". Në Charles Coulston Gillispie, red. Dictionary of Scientific Biography. Vëll. 1 (Abailard–Berg). New York: Charles Scribner's Sons. f. 213–231.
  • Gow, Mary. 2005. Archimedes: Mathematical Genius of the Ancient World. Enslow Publishing. ISBN 978-0-7660-2502-8.
  • Hasan, Heather. 2005. Archimedes: The Father of Mathematics. Rosen Central. ISBN 978-1-4042-0774-5.
  • Netz, Reviel. 2004–2017. The Works of Archimedes: Translation and Commentary. 1–2. Cambridge University Press. Vëll. 1: "The Two Books on the Sphere and the Cylinder". ISBN 978-0-521-66160-7. Vëll. 2: "On Spirals". ISBN 978-0-521-66145-4.
  • Netz, Reviel, dhe William Noel. 2007. The Archimedes Codex. Orion Publishing Group. ISBN 978-0-297-64547-4.
  • Pickover, Clifford A. 2008. Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-533611-5.
  • Simms, Dennis L. 1995. Archimedes the Engineer. Continuum International Publishing Group. ISBN 978-0-7201-2284-8.
  • Stein, Sherman. 1999. Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-718-2.

Lidhje të jashtme

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Marrë nga "https://sq.wikipedia.org/w/index.php?title=Arkimedi&oldid=3023467"