Greenov izrek

Ta članek govori o izreku v ravnini, ki povezuje krivuljne in dvojne integrale. Za Greenove izreke, ki povezujejo prostorninske integrale, ki vključujejo Laplaceov operator, s ploskovnimi integrali glej Greenove identitete.

Ne zamenjajte za Greenov zakon za valovanje, ki se približujejo obali.

Greenov izrek v vektorskem računu povezuje krivuljni integral okrog enostavne zaprte krivulje ${\mathcal {C}}\!\,$ in dvojni integral po ravninskem območju $D\!\,$ (ploskev v $\mathbb {R} ^{2}\!\,$), ki ga omejuje ${\mathcal {C}}\!\,$. Je dvorazsežni posebni primer Stokesovega izreka (ploskev v $R^{3}\!\,$). V eni razsežnosti je enakovreden osnovnemu izreku infinitezimalnega računa. V dveh razsežnostih je enakovreden izreku Gaussa in Ostrogradskega.

Izrek se imenuje po angleškem matematiku in fiziku Georgeu Greenu (1793–1841).

Izrek

Naj je ${\mathcal {C}}\!\,$ pozitivna usmerjena, po delih gladka enostavna zaprta krivulja v ravnini in naj je $D\!\,$, območje omejeno s ${\mathcal {C}}\!\,$. Če sta $L\!\,$ in $M\!\,$ funkciji $(x,y)\!\,$, definirani na odprtem območju, ki vsebuje $D\!\,$ in imata zvezne parcialne odvode, potem je:

$\oint _{\mathcal {C}}(L\,\operatorname {d} \!x+M\,\operatorname {d} \!y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\operatorname {d} \!A\!\,,$

kjer pot integriranja vzdolž ${\mathcal {C}}\!\,$ poteka v obratni smeri urinega kazalca.

Raba

Greenov izrek v ravnini povezuje krivuljne integrale okrog enostavne zaprte krivulje z dvojnimi integrali po območjih, ki jih ta obdaja. Ima dve enakovredni obliki: cirkulacijsko obliko, ki pravi, da je tangentni krivuljni integral vektorskega polja $\mathbf {\vec {F}} =(P,Q)\!\,$ okrog pozitivno usmerjene enostavne zaprte krivulje ${\mathcal {C}}\!\,$ enak dvojnemu integralu skalarnega rotorja ${\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\!\,$ po območju $D\!\,$, omejenem s ${\mathcal {C}}\!\,$ in pretočno (divergenčno) obliko, ki pravi, da je normalni krivuljni integral $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ okrog ${\mathcal {C}}\!\,$ enak dvojnemu integralu divergence $\nabla \cdot \mathbf {\vec {F}} \!\,$ nad $D\!\,$. V rabah se cirkulacijska oblika rabi za dvorazsežne izračune cirkulacije in sučnega pretoka, medtem ko pretočna oblika meri neto odtok čez zaprto mejo. Greenov izrek daje tudi praktične mejno-integralske formule za površino in težišče ravninskega območja.

Dokaz, ko je D enostavno območje

Če je $D\!\,$ enostavna vrsta območja z mejo, ki jo sestavljajo krivulje ${\mathcal {C}}_{1}\!\,$, ${\mathcal {C}}_{2}\!\,$, ${\mathcal {C}}_{3}\!\,$ in ${\mathcal {C}}_{4}\!\,$, se lahko pokaže polovico Greenovega izreka.

Sledi dokaz polovice izreka za poenostavljeno območje $D\!\,$, območje tipa I, kjer sta ${\mathcal {C}}_{1}\!\,$ in ${\mathcal {C}}_{3}\!\,$ krivulji, povezani z navpičnima daljicama (morda z ničelnima dolžinama). Podoben dokaz obstaja za drugo polovico izreka, ko je $D\!\,$ območje tipa II, kjer sta ${\mathcal {C}}_{2}\!\,$ in ${\mathcal {C}}_{4}\!\,$ krivulji, povezani z vodoravnima daljicama (spet, morda z ničelnima dolžinama). Če se združi ta dva dela, je izrek tako dokazan za območja tipa III (definirana kot območja, ki so tipa I in tipa II). Splošni primer se lahko nato izpelje iz tega posebnega primera z razgradnjo $D\!\,$ v niz območij tipa III.

Če se lahko dokaže, da veljata enačbi:

$\oint _{\mathcal {C}}L\,\operatorname {d} \!x=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\operatorname {d} \!A\!\,$

 

 

 

 

(1)

in:

$\oint _{\mathcal {C}}\ M\,\operatorname {d} \!y=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\operatorname {d} \!A\!\,,$

 

 

 

 

(2)

potem Greenov izrek takoj sledi za območje $D\!\,$. Enačba (1) se lahko enostavno dokaže za območja tipa I in enačba (2) za območja tipa II. Greenov izrek nato sledi za območja tipa III.

Predpostavi se, da je območje $D\!\,$ območje tipa I in ga je torej mogoče označiti, kot je prikazano na desni, z:

$D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}\!\,,$

kjer sta $g_{1}\!\,$ in $g_{2}\!\,$ zvezni funkciji na zaprtem intervalu $[a,b]\!\,$. Izračuna se dvojni integral v enačbi (1):

${\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,\operatorname {d} \!A&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,\operatorname {d} \!y\,\operatorname {d} \!x\\&=\int _{a}^{b}{\Big [}L\left(x,g_{2}(x)\right)-L\left(x,g_{1}(x)\right){\Big ]}\,\operatorname {d} \!x\!\,.\end{aligned}}$

 

 

 

 

(3)

Sedaj se izračuna krivulni integral v enačbi (1). ${\mathcal {C}}\!\,$ se lahko prepiše kot unijo štirih krivulj: ${\mathcal {C}}_{1}\!\,$, ${\mathcal {C}}_{2}\!\,$, ${\mathcal {C}}_{3}\!\,$ in ${\mathcal {C}}_{4}\!\,$.

Za ${\mathcal {C}}_{1}\!\,$ se rabita parametrični enačbi: $x=y\!\,$ in $y={\mathcal {g}}_{1}(x),a\leq x\leq b\!\,$. Potem je:

$\int _{{\mathcal {C}}_{1}}L(x,y)\,\operatorname {d} \!x=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,\operatorname {d} \!x\!\,.$

Za ${\mathcal {C}}_{3}\!\,$ se rabita parametrični enačbi $x=y\!\,$ in $y={\mathcal {g}}_{2}(x),a\leq x\leq b\!\,$. Potem je:

$\int _{{\mathcal {C}}_{3}}L(x,y)\,\operatorname {d} \!x=\int _{b}^{a}L(x,y)\,\operatorname {d} \!x=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,\operatorname {d} \!x\!\,.$

Integral nad ${\mathcal {C}}_{3}\!\,$ je negativen, ker gre v negativni smeri od $b\!\,$ do $a\!\,$, saj je ${\mathcal {C}}\!\,$ pozitivno usmerjena (v nasprotni smeri urinega kazalca). Na ${\mathcal {C}}_{2}\!\,$ in ${\mathcal {C}}_{4}\!\,$ $x\!\,$ ostane konstanten, kar pomeni:

$\int _{{\mathcal {C}}_{4}}L(x,y)\,\operatorname {d} \!x=\int _{{\mathcal {C}}_{2}}L(x,y)\,\operatorname {d} \!x=0\!\,.$

Zato je:

${\begin{aligned}\oint _{\mathcal {C}}L\,\operatorname {d} \!x&=\int _{{\mathcal {C}}_{1}}L(x,y)\,\operatorname {d} \!x+\int _{{\mathcal {C}}_{2}}L(x,y)\,\operatorname {d} \!x+\int _{{\mathcal {C}}_{3}}L(x,y)\,\operatorname {d} \!x+\int _{{\mathcal {C}}_{4}}L(x,y)\,\operatorname {d} \!x\\&=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,\operatorname {d} \!x-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,\operatorname {d} \!x\!\,.\end{aligned}}$

 

 

 

 

(4)

Če se združita enačbi (3) in (4), se dobi enačbo (1) za območje tipa I. Podobna obravnava z istimi končnimi točkami da enačbo (2) za območja tipa II. Če se združita obe, se dobi rezultat za območja tipa III. $\blacksquare \!\,$

Dokaz za rektifiabilne Jordanove krivulje

Dokazal se bo naslednji:

Izrek—naj je $\Gamma \!\,$ rektifiabilna, pozitivno usmerjena Jordanova krivulja v $\mathbb {R} ^{2}\!\,$ in naj $R\!\,$ označuje njeno notranje območje. Predpostavi se, da sta $A,B\colon {\overline {R}}\to \mathbb {R} \!\,$ zvezni funkciji z lastnostjo, da ima $A\!\,$ drugi parcialni odvod v vsaki točki $R\!\,$, $B\!\,$ ima prvi parcialni odvod v vsaki točki $R\!\,$ in da sta funkciji $D_{1}B,D_{2}A\colon R\to \mathbb {R} \!\,$ integrabilni po Riemannu nad $R\!\,$. Potem je:

$\int _{\Gamma }(A\,dx+B\,\operatorname {d} \!y)=\int _{R}\left(D_{1}B(x,y)-D_{2}A(x,y)\right)\,\operatorname {d} \!(x,y)\!\,.$

Potrebujejo se naslednje leme, katerih dokaze se najde v:

Lema 1 (razstavitvena lema)—naj je $\Gamma \!\,$ rektifiabilna, pozitivno usmerjena Jordanova krivulja in naj je $R\!\,$ njeno notranje območje. Za vsako pozitivno realno število $\delta \!\,$ naj ${\mathcal {F}}(\delta )\!\,$ označuje zbirko kvadratov v ravnini, omejeno s premicami $x=m\delta ,y=m\delta \!\,$, kjer $m\!\,$ poteka skozi množico celih števil. Potem za to $\delta \!\,$ obstaja razstavitev ${\overline {R}}\!\,$ v končno število neprekrivajočih se podobmočij na tak način, da

1. je vsako od podobmočij, ki jih vsebuje $R\!\,$, na primer $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}\!\,$ kvadrat ${\mathcal {F}}(\delta )\!\,$.
2. ima vsako od preostalih podobmočij, na primer $R_{k+1},\ldots ,R_{s}\!\,$, kot mejo rektifiabilno Jordanovo krivuljo, ki jo tvori končno število lokov $\Gamma \!\,$ in deli stranic nekega kvadrata iz ${\mathcal {F}}(\delta )\!\,$.
3. se lahko vsako mejno območje $R_{k+1},\ldots ,R_{s}\!\,$ zapre v kvadrat z dolžino stranice $2\delta \!\,$.
4. če je $\Gamma _{i}\!\,$ pozitivno usmerjena mejna krivulja $R_{i}$, potem je $\Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}\!\,$.
5. število $s-k\!\,$ mejnih območij ni večje od ${\textstyle 4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)\!\,}$, kjer je $\Lambda \!\,$ dolžina $\Gamma \!\,$.

Lema 2—naj je $\Gamma \!\,$ rektifiabilna krivulja v ravnini in naj je $\Delta _{\Gamma (h)}\!\,$ množica točk v ravnini, katerih razdalja od (območja) $\Gamma \!\,$ je največ $h\!\,$. Zunanja Jordanova vsebina te množice zadošča ${\overline {c}}\,\,\Delta _{\Gamma (h)}\leq 2h\Lambda +\pi h^{2}\!\,$.

Lema 3—naj je $\Gamma \!\,$ rektifiabilna zaprta krivulja v $\mathbb {R} ^{2}\!\,$ in naj je $f\colon {\text{obseg }}\Gamma \to \mathbb {R} \!\,$ zvezna funkcija. Potem je:

$\left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,\operatorname {d} \!y\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f}\!\,,$

in:

$\left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,\operatorname {d} \!x\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f}\!\,,$

kjer je $\Omega _{f}\!\,$ nihanje $f\!\,$ v obsegu $\Gamma \!\,$.

Sedaj se lahko dokaže izrek:

Dokaz izreka

Naj je $\varepsilon \!\,$ poljubno pozitivno realno število. Zaradi zveznosti $A\!\,$ in $B\!\,$ in kompaktnosti ${\overline {R}}\!\,$, če je $\varepsilon >0\!\,$, obstaja $0<\delta <1\!\,$ tako da kadar koli sta dve točki ${\overline {R}}\!\,$ med seboj oddaljeni manj kot $2{\sqrt {2}}\,\delta \!\,$, sta njuni sliki pod $A\!\,$ in $B\!\,$ med seboj oddaljeni manj kot $\varepsilon \!\,$. Za to število $\delta \!\,$ se upošteva razgraditev, ki jo podaja prejšnja lema. Tako je:

$\int _{\Gamma }A\,\operatorname {d} \!x+B\,\operatorname {d} \!y=\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,\operatorname {d} \!x+B\,\operatorname {d} \!y\ +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,\operatorname {d} \!x+B\,\operatorname {d} \!y\!\,.$

Naj je ${\displaystyle \varphi$ :=D_{1}B-D_{2}A\!\,} .

Za vsak $i\in \{1,\ldots ,k\}\!\,$ je krivulja $\Gamma _{i}\!\,$ pozitivno usmerjeni kvadrat, za katerega Greenova formula velja. Zato:

$\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,\operatorname {d} \!x+B\,\operatorname {d} \!y=\sum _{i=1}^{k}\int _{R_{i}}\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi \!\,.$

Vsaka točka mejnega območja je od $\Gamma \!\,$ oddaljena za največ $2{\sqrt {2}}\,\delta \!\,$. Če je torej $K\!\,$ unija vseh mejnih območij, potem je $K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\!\,$ – zato je $c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}\!\,$ po lemi 2. Upošteva se, da je:

$\int _{R}\varphi \,\,-\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\varphi =\int _{K}\varphi \!\,.$

To vodi do:

$\left\vert \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,\operatorname {d} \!x+B\,\operatorname {d} \!y\quad -\int _{R}\varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta ){\text{ za kakšen }}M>0\!\,.$

Lahko pa se izbere $\delta \!\,$, tako da je desna stran zadnje neenakosti $<\varepsilon \!\,$.

Opomba na začetku tega dokaza pomeni, da so nihanja $A\!\,$ in $B\!\,$ na vsakem mejnem območju največ $\varepsilon \!\,$. Sledi:

$\left\vert \sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,\operatorname {d} \!x+B\,\operatorname {d} \!y\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\!\,.$

Po lemi 1(iii) je:

$\sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\leq \Lambda +(4\delta )\,4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)\leq 17\Lambda +16\!\,.$

Če se zduži, je končno:

$\left\vert \int _{\Gamma }A\,\operatorname {d} \!x+B\,\operatorname {d} \!y\quad -\int _{R}\varphi \right\vert <C\varepsilon \!\,$

za nek $C>0\!\,$. Ker to velja za vsak $\varepsilon >0\!\,$, je dokaz končan. $\blacksquare \!\,$

Veljavnost pod različnimi domnevami

Domneve zadnjega izreka niso edine, pod katerimi Greenova formula velja. Druga pogosta množica pogojev je naslednja:

Funkciji $A,B\colon {\overline {R}}\to \mathbb {R} \!\,$ se še vedno predpostavljata kot zvezni. Vendar pa se zdaj zahteva, da sta odvedljivi po Fréchetu v vsaki točki $R\!\,$. To pomeni obstoj vseh smernih odvodov, še posebej $D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2\!\,$, kjer je, kot običajno, $(e_{1},e_{2})\!\,$ kanonična urejena baza $\mathbb {R} ^{2}\!\,$. Poleg tega se zahteva, da je funkcija $D_{1}B-D_{2}A\!\,$ integrabilna po Riemannu nad $R\!\,$.

Kot posledica tega se dobi Cauchyjev integralski izrek za rektifiabilne Jordanove krivulje:

Izrek (Cauchy)—če je $\Gamma \!\,$ rektifiabilna Jordanova krivulja v $\mathbb {C} \!\,$ in, če je $f\colon {\text{zaprtje notranjega območja }}\Gamma \to \mathbb {C} \!\,$ zvezna preslikava, holomorfna po celotnem notranjem območju $\Gamma \!\,$, potem je:

$\int _{\Gamma }f=0\!\,,$

integral kompleksni konturni integral.

Dokaz izreka

Kompleksno ravnino se obravnava kot $\mathbb {R} ^{2}\!\,$. Sedaj se definirata funkciji $u,v\colon {\overline {R}}\to \mathbb {R} \!\,$ tako, da je $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\!\,$. Ti funkciji sta očitno zvezni. Dobro je znano, da sta $u\!\,$ in $v\!\,$ odvedljivi po Fréchetu in da zadoščata Cauchy-Riemannovim enačbam: $D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{ničelna funkcija}}\!\,$.

Če se sedaj analizira vsote, rabljene za definiranje obravnavanega kompleksnega konturnega integrala, se zlahka ugotovi, da je:

$\int _{\Gamma }f=\int _{\Gamma }u\,\operatorname {d} \!x-v\,\operatorname {d} \!y\quad +i\int _{\Gamma }v\,\operatorname {d} \!x+u\,\operatorname {d} \!y\!\,,$

pri čemer sta integrala na desni strani običajna krivuljna integrala. Te opombe omogočajo, da se rabi Greenov izrek za vsakega od teh krivuljnih integralov, s čimer se dokaz zaključi. $\blacksquare \!\,$

Večkratno povezana območja

Izrek. Naj so $\Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}\!\,$ pozitivno usmerjene rektifiabilne Jordanove krivulje v $\mathbb {R} ^{2}\!\,$ za katere velja:

${\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{pri }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{pri }}1\leq i,j\leq n{\text{ in }}i\neq j\!\,,\end{aligned}}$

kjer je $R_{i}\!\,$ notranje območje $\Gamma _{i}\!\,$. Naj je_

$D=R_{0}\setminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n})\!\,.$

Privzame se, da sta $p\colon {\overline {D}}\to \mathbb {R} \!\,$ in $q\colon {\overline {D}}\to \mathbb {R} \!\,$ zvezni funkciji, katerih omejitev na $D\!\,$ je odvedljiva po Fréchetu. Če je funkcija:

$(x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\!\,$

odvedljiva po Riemannu nad $D\!\,$, potem je:

${\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,\operatorname {d} \!x+q(x,y)\,\operatorname {d} \!y-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,\operatorname {d} \!x+q(x,y)\,\operatorname {d} \!y\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,\operatorname {d} \!(x,y)\!\,.\end{aligned}}$

Povezava s Stokesovim izrekom

Greenov izrek je poseben primer Stokesovega izreka, ko se rabi za območje v ravnini $xy\!\,$.

Dvorazsežno polje se lahko razširi v trirazsežno polje s komponento $z\!\,$, ki je vedno enaka 0. Za vektorsko funkcijo $\mathbf {\vec {F}} =(L,M,0)\!\,$ se piše $\mathbf {\vec {F}} \!\,$. Začne se z levo stranjo Greenovega izreka:

$\oint _{\mathcal {C}}(L\,\operatorname {d} \!x+M\,\operatorname {d} \!y)=\oint _{\mathcal {C}}(L,M,0)\cdot (\operatorname {d} \!x,\operatorname {d} \!y,\operatorname {d} \!z)=\oint _{\mathcal {C}}\mathbf {\vec {F}} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {\vec {r}} \!\,.$

Stokesov izrek je

$\oint _{\mathcal {C}}\mathbf {\vec {F}} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {\vec {r}} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,\operatorname {d} \!S\!\,.$

Ploskev $S\!\,$ je le območje v ravnini $D\!\,$, kjer je enotska normala $\mathbf {\hat {n}} \!\,$ definirana (po dogovoru) s pozitivno komponento $z\!\,$, da se ujema z definicijami »pozitivne usmerjenosti« za oba izreka.

Izraz znotraj integrala postane:

$\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {i}} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {\hat {j}} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {\hat {k}} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\!\,.$

Tako se dobi desno stran Greenovega izreka:

$\iint _{S}\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,\operatorname {d} \!S=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\operatorname {d} \!A\!\,.$

Greenov izrek je tudi neposreden rezultat splošnega Stokesovega izreka z rabo diferencialnih form in zunanjih odvodov:

$\oint _{\mathcal {C}}L\,\operatorname {d} \!x+M\,\operatorname {d} \!y=\oint _{\partial D}\!\omega =\int _{D}\operatorname {d} \!\omega =\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,\operatorname {d} \!y\wedge \,\operatorname {d} \!x+{\frac {\partial M}{\partial x}}\,\operatorname {d} \!x\wedge \,\operatorname {d} \!y=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\operatorname {d} \!x\,\operatorname {d} \!y\!\,.$

Povezava z izrekom Gaussa in Ostrogradskega

Če se upošteva samo dvorazsežna vektorska polja, je Greenov izrek enakovreden dvorazsežni različici izreka Gaussa in Ostrogradskega:

$\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {\vec {F}} \right)\operatorname {d} \!A=\oint _{\mathcal {C}}\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,\operatorname {d} \!s\!\,,$

kjer je $\nabla \cdot \mathbf {\vec {F}} \!\,$ divergenca dvorazsežnega vektorskega polja $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ in $\mathbf {\hat {n}} \!\,$ navzven usmerjeni enotski normalni vektor na meji.

Če se želi to videti, se razmisli o enotski normali $\mathbf {\hat {n}} \!\,$ na desni strani enačbe. Ker je v Greenovem izreku $\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {r}} =(\operatorname {d} \!x,\operatorname {d} y)\!\,$ vektor, ki kaže tangencialno vzdolž krivulje, in je krivulja ${\mathcal {C}}\!\,$ pozitivno usmerjena (tj. v nasprotni smeri urinega kazalca) krivulja vzdolž meje, bi bila zunanja normala vektor, ki kaže 90° na desno od tega; ena možnost bi bila $(\operatorname {d} \!y,-\operatorname {d} \!x)\!\,$. Dolžina tega vektorja je ${\textstyle {\sqrt {\operatorname {d} \!x^{2}+\operatorname {d} \!y^{2}}}=\operatorname {d} \!s\!\,}$. Torej $(\operatorname {d} \!y,-\operatorname {d} \!x)=\mathbf {\hat {n}} \,\operatorname {d} \!s\!\,$.

Začne se z levo stranjo Greenovega izreka:

$\oint _{\mathcal {C}}(L\,\operatorname {d} \!x+M\,\operatorname {d} \!y)=\oint _{\mathcal {C}}(M,-L)\cdot (\operatorname {d} \!y,-\operatorname {d} \!x)=\oint _{\mathcal {C}}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,\operatorname {d} \!s\!\,.$

Z rabo dvorazsežnega izreka Gaussa in Ostrogradskega z $\mathbf {\vec {F}} =(M,-L)\!\,$ se dobi desno stran Greenovega izreka:

$\oint _{\mathcal {C}}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,\operatorname {d} \!s=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)\,\operatorname {d} \!A=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\operatorname {d} \!A\!\,.$

Izračun površine

Greenov izrek se lahko rabi za izračun površine s krivuljnim integralom. Površina ravninskega območja $D\!\,$ je dana z:

$A=\iint _{D}\operatorname {d} \!A\!\,.$

Izbereta se $L\!\,$ in $M\!\,$ tako, da velja ${\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1\!\,$. Ploščina je podana z:

$A=\oint _{\mathcal {C}}(L\,\operatorname {d} \!x+M\,\operatorname {d} \!y)\!\,.$

Možne formule za površino $D\!\,$ vključujejo:

$A=\oint _{\mathcal {C}}x\,\operatorname {d} \!y=-\oint _{\mathcal {C}}y\,\operatorname {d} \!x={\frac {1}{2}}\oint _{\mathcal {C}}(-y\,\operatorname {d} \!x+x\,\operatorname {d} \!y)\!\,.$

Zgodovina

Kelvin je ta izrek poimenoval po Georgeu Greenu, ki je podoben rezultat navedel v članku iz leta 1828 z naslovom Esej o rabi matematične analize v teorijah elektrike in magnetizma (An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism), ki je bil skoraj pozabljen, dokler ga Kelvin ni ponovno odkril leta 1845. Leta 1846 je Augustin Louis Cauchy objavil članek, v katerem je Greenov izrek navedel kot predzadnji stavek. Dokaz izreka je leta 1851 končno podal Bernhard Riemann v svoji doktorski disertaciji.

Glej tudi

• planimeter – orodje za merjenje površine
• metoda slikovnih nabojev – metoda, ki se rabi v elektrostatiki in izkorišča izrek o edinstvenosti (izpeljan iz Greenovega izreka)
• formula vezalke – posebni primer Greenovega izreka za preproste mnogokotnike
• Bendixson-Dulacov izrek – izrek v dvorazsežni dinamiki, ki sledi iz rabe Greenovega izreka

Viri

• Apostol, Tom Mike (1960), Mathematical Analysis, Reading, Massachusetts, ZDA: Addison-Wesley, OCLC 6699164
• Cauchy, Augustin Louis (1846), »Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée« [O integralih, ki se raztezajo čez vse točke zaprte krivulje], Comptes rendus de l'Académie des Sciences (v francoščini), 23: 251&nash, 255, ISSN 0001-4036 – prek Internet Archive
• Challis, Lawrie; Sheard, Fred (december 2003), »The Green of Green Functions«, Physics Today, 56 (12): 41–46, doi:10.1063/1.1650227, ISSN 0031-9228
• Grattan-Guinness, Ivor (maj 1995), »Why Did George Green Write His Essay of 1828 on Electricity and Magnetism?«, The American Mathematical Monthly, 102 (5): 387–396, doi:10.1080/00029890.1995.12004591, eISSN 1930-0972, ISSN 0002-9890
• Katz, Victor Joseph (2009), A History of Mathematics: An Introduction (3. izd.), Boston, MA: Addison-Wesley, COBISS 17385480, ISBN 978-0-32-138700-4, LCCN 2006049619, OL 22656816M
• Lipschutz, Seymour Saul; Spiegel, Murray Ralph; Spellman, Dennis (2009), Vector analysis and an introduction to tensor analysis, (= Schaum's Outline Series) (2. izd.), New York: McGraw Hill Education, ISBN 978-0-07-161545-7, LCCN 2009007879, OCLC 244060713, OL 23170450M – prek Google Knjige
• Riemann, Bernhard (1867) [1851], Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse [Temelji splošne teorije funkcij kompleksne spremenljive količine] (v nemščini), Göttingen: Adalbert Rente – prek Google Knjige
• Riley, Kenneth Franklin; Hobson, Michael Paul; Bence, Stephen John (2010), Mathematical methods for physics and engineering (3. izd.), Cambridge: Cambridge University Press, COBISS 62425857, ISBN 978-0-52-186153-3, OL 7767153M – prek Internet Archive
• Stewart, James Drewry (2012), Calculus: Early Transcendentals (7. izd.), Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-49790-9
• Stöcker, Horst (2006), Matematični priročnik z osnovami računalništva, Ljubljana: Tehniška založba Slovenije, COBISS 229576192, ISBN 86-365-0587-9

Nadaljnje branje

• Marsden, Jerrold Eldon; Tromba, Anthony Joseph (2012), »Chapter 8: The Integral Theorems of Vector Analysis«, Vector Calculus (6. izd.), New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 978-1-42-921508-4, LCCN 2014412506, OL 25994156M

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Green's Theorem«. MathWorld (v angleščini).