Liczby niewymierne

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące zarazem liczbami wymiernymi, czyli niedające się zapisać w postaci ilorazu $\,{\frac {p}{q}}\,$, dla pewnych dwóch liczb całkowitych $\,p\,$ oraz $\,q\,$.

Zbiór liczb niewymiernych oznacza się przede wszystkim za pomocą różnicy zbiorów dla zbioru liczb rzeczywistych oraz zbioru liczb wymiernych (w tej kolejności): $\,\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \,$. W niektórych opracowaniach można spotkać się także z oznaczeniem $\,\mathbb {I$ :=\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \,} , chociaż nie jest ono powszechnie stosowane, jako że napis $\,\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \,$ jest już – sam w sobie – wystarczająco krótki i dokładnie jednoznaczny.

Przykłady liczb niewymiernych

Przykładami liczb niewymiernych (niekoniecznie trywialnymi w swojej niewymierności) są:

• pierwiastek kwadratowy z dwóch ($\,{\sqrt {2}}\,$);
• inne pierwiastki arytmetyczne z liczb naturalnych niebędące liczbami naturalnymi, np. $\,{\sqrt {99992}}\,$;
  • Możemy tutaj w szczególności wskazać – jako pewną liczbę niewymierną – dowolny pierwiastek kwadratowy $\,{\sqrt {p}}\,$, gdzie $\,p\,$ to jest dowolna liczba pierwsza. Fakt, że taki pierwiastek przy dowolnym $\,p\,$ rzeczywiście jest liczbą niewymierną, jest prosty do udowodnienia.

  Dowód. Wystarczy, że pokażemy, że (przy dowolnym $\,p\,$) pierwiastek $\,{\sqrt {p}}\,$ nie może być liczbą wymierną — a zatem (por. definicja liczby wymiernej) wystarczy pokazać, że (dla dowolnego pierwszego $\,p\,$) nie mogą istnieć takie liczby całkowite $\,m\,$ oraz $\,n\,$, które byłyby wobec siebie względnie pierwsze, a przy których ponadto, byłaby spełniona równość: $\,{\sqrt {p}}={\frac {m}{n}}\,$. Będziemy dowodzić nie wprost.

  Załóżmy nie wprost, że $\,{\sqrt {p}}\,$ wcale jest liczbą wymierną, i daje się zapisać w postaci jak powyżej: $\,{\sqrt {p}}={\frac {m}{n}}\,$ (przy tak samo określonych liczbach $\,m\,$ oraz $\,n\,$). Dalej, wychodząc od: $\,{\sqrt {p}}={\frac {m}{n}}\,$, najpierw przekształćmy tę oto właśnie równość, podnosząc obie jej strony do kwadratu. W ten sposób, uzyskujemy inną równość: $\,p={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\,$. Przekształcając dalej, uzyskujemy $\,p\cdot n^{2}=m^{2}\,$, co oznacza jednocześnie (por. definicja relacji podzielności), że $\,p\,$ dzieli $\,m^{2}\,$, a to z kolei oznacza, że $\,p\,$ – jako liczba pierwsza – musi także dzielić samo $\,m\,$. Zapiszmy wobec tego, że jest: $\,m=p\cdot k\,$, dla jakiegoś $\,k\in \mathbb {Z} \,$. Wstawiając to z powrotem do równości $\,p\cdot n^{2}=m^{2}\,$, dostajemy: $\,p\cdot n^{2}=m^{2}=(p\cdot k)^{2}=p^{2}\cdot k^{2}\,$, czyli – przechodnio – dostajemy równość: $\,n^{2}=p\cdot k^{2}\,$. Ale ona z kolei oznacza dla nas, że $\,p\,$ dzieli także $\,n^{2}\,$, a zatem – skoro $\,p\,$ zostało określone jako (dowolne) pierwsze – $\,p\,$ musi dzielić także $\,n\,$. To z kolei przeczy naszemu założeniu przy wyborze liczb $\,m\,$ oraz $\,n\,$, mówiącemu o tym, że są one wobec siebie względnie pierwsze.

  Uzyskaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że $\,{\sqrt {p}}={\frac {m}{n}}\,$ nie może być liczbą wymierną; a zatem też, liczba ta, musi być niewymierna. Tego należało dowieść. ∎

• liczba $\,\pi \,$ — jej niewymierności – jako pierwszy – dowiódł Johann Heinrich Lambert w roku 1767;
• liczba $\,e\,$ — jej niewymierności – jako pierwszy – dowiódł Leonhard Euler w roku 1737;
• stała Gelfonda-Schneidera $\,2^{\sqrt {2}}\,$;
• $\,{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\,$;
• $\,\log _{2}(9)\,$;
• stała Apéry’ego $\,A:=\zeta (3):=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\,$.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe, a rozwinięcie liczby wymiernej: już musi być skończone, albo nieskończone okresowe. Mając na względzie taki oto właśnie fakt, jesteśmy w stanie także samodzielnie, podać wiele przykładów liczb, które są w istocie także liczbami niewymiernymi (wnioskując z tego właśnie faktu). Tym samym, innym przykładem liczby niewymiernej jest też chociażby, liczba: $\,0,123456789101112131415...\,$. Co istotne: przy okazji wskazywania podobnego napisu jako przykładu liczby niewymiernej, musimy ponadto dokładnie zaznaczyć (np. słownie), że mamy na myśli liczbę, która zaczyna się jak powyżej, i w której rozwinięciu dziesiętnym, brak jest też tak zwanego okresu (por. ułamek dziesiętny okresowy). To znaczy, powinniśmy tutaj także powiedzieć (podając taki przykład), że nie chcemy przez niego rozumieć np. liczby

$\,0,123456789101112131415...=0,123456789101112131415(123)=0,123456789101112131415\,\,123123123...\,$

ani też innych, podobnych liczb (pierwszej z powyższych równości, nie należy koniecznie wcale uważać za niepoprawną, ponieważ wielokropek używany przy okazji zapisów dziesiętnych, nie precyzuje wcale, czy po bezpośrednio napisanym fragmencie rozwinięcia, dalej – w miejscu wielokropka – nie pojawia się jakiś okres).

Dzieje badań

Najstarsze opisy niewymierności pochodzą ze starożytnej Grecji, konkretniej od Pitagorejczyków, którzy wykazali niewymierność liczby ${\sqrt {2}}$. Zauważyli oni, że przekątna kwadratu o boku 1, możliwa do obliczenia twierdzeniem Pitagorasa, jest niewspółmierna z bokiem. Potem udowodniono niewymierność innych stałych:

stała	dowód niewymierności
	data	autor
e	1737	Leonhard Euler
π	1760	Johann Heinrich Lambert
$\zeta (3)$	1979	Roger Apéry

Własności

• Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem gęstym, a także zbiorem nieprzeliczalnym.
• Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może być wymierna lub nie. Inaczej, istnieją takie liczby niewymierne $a$ i $b,$ że liczba $a^{b}$ jest wymierna. Przykłady to:

$\,{\sqrt {2}}^{\left(\log _{2}(9)\right)}=2^{\left({\frac {1}{2}}\cdot \log _{2}(3^{2})\right)}=2^{\left(\log _{2}(3)\right)}=3\,$

$\,({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}=({\sqrt {2}})^{\left({\sqrt {2}}^{2}\right)}=({\sqrt {2}})^{2}=2\,$

Uwaga. Zaznaczmy jednocześnie silnie, że dla liczby wymiernej, jej pierwiastek wymierny, wcale nie musi także być wymierny. Wystarczą przykłady: $\,{\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q} \,$ czy też: $\,{\sqrt[{4}]{\frac {1}{64}}}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {2}}{4}}\notin \mathbb {Q} \,$.

• O własnościach niektórych potęg z niewymiernymi wykładnikami mówi twierdzenie Gelfonda-Schneidera.
• Liczba niewymierna do potęgi wymiernej może być wymierna lub nie: ${\sqrt {2}}^{2}=2\in \mathbb {Q} ,{\sqrt {2}}^{3}=2{\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$.
• Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.
• Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ dając w efekcie przestrzeń zupełną.
• Jako podprzestrzeń linii prostej $\mathbb {R} ,$ zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$.

Zobacz też

• usuwanie niewymierności z mianownika
• dowód niekonstruktywny
• twierdzenie Gelfonda-Schneidera
• niewspółmierność interteoretyczna

Linki zewnętrzne

• Algebra – liczby wymierne i niewymierne, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27].
• Ganesh Pai, Making sense of irrational numbers (ang.), kanał TED-Ed na YouTube, 23 maja 2016 [dostęp 2024-08-22].
• Can We Combine pi & e to Make a Rational Number?, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 13 kwietnia 2017 [dostęp 2024-08-29].