九州大学の整数問題を解いてみた。答えはすぐに見つかるんだけど...。

こんにちは！とらねこです。
今回は、九州大学の整数問題を解いてみます。

趣味で解いてるだけですので、興味がある人だけご覧ください。

整数問題を鍛えるのにちょうどいい問題があったので、やってみました。

問題はこれです ↓

この問題を見たときに、違和感しかありませんでした。

っていうか、「$${a=b=c}$$以外に答えがあるの？」です。

あるとすれば$${a+b < c}$$…☆だけどそれもない。

$${\dfrac{a!}{c!}+\dfrac{b!}{c!}=2}$$としたときに、☆を満たせないからね。

だから、$${a=b=c}$$以外に答えはないはずなんです。

答えはすぐに分かるんですが、それを証明するのが難しいという問題です。

解答・解説

$${a,b}$$の対称性より、$${a≦b}$$とおく.

$${(ⅰ)　a=b}$$のとき

$${a=b=k}$$($${k}$$は自然数)とすると、$${2k!=2c!}$$となり$${a=b=c}$$.

$${(ⅱ)　a < b}$$のとき

$${a!+a!<2c! < b!+b!}$$　⇔　$${a! < c! < b!}$$ 　⇔　 $${a < c < b}$$…☆.

$${\dfrac{a!}{c!}+\dfrac{b!}{c!}=2}$$としたとき、

☆より、$${\dfrac{a!}{c!}}$$は分数、$${\dfrac{b!}{c!}}$$は整数より矛盾.

よって、$${a < b}$$は存在しない.

ゆえに、$${a=b=c}$$（答え）

この問題のポイントは４つです。

$${c!}$$で割るのがポイントですね。

$${a,b}$$で割っちゃうと、文字の種類が減りませんからね。
解けなくはないですが、タイムロスになるのは目に見えますね。

ではまた会いましょう！

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