ただの計算問題だけど...。灘高ではこんな感じで出題される。
息子のテキストにあったので解いてみました。
大学受験だと基本中の基本の問題ですが、中学生が解くとなると一苦労ありそうです。
問題はこんな感じです。
次の計算をしなさい。＜灘2023＞
(1) $${\left(\sqrt{100+\sqrt{9991}}+\sqrt{100-\sqrt{9991}}\right)^2}$$
(2) $${2\sqrt{100+\sqrt{9991}}-\sqrt{206}}$$
灘高校を受ける生徒は、絶対に間違ってはいけない問題だと思います。
ポイントは、いかに速く処理するかです。
最短経路で解いてみます。
解答・解説
(1)
$${x=\sqrt{100+\sqrt{9991}}, y=\sqrt{100-\sqrt{9991}}}$$とすると、
$${(x+y)^2=x^2+y^2+2xy}$$.
$${x^2=100+\sqrt{9991}, y^2=100-\sqrt{9991}}$$,
$${2xy=2\sqrt{(100+\sqrt{9991})(100-\sqrt{9991})}=2\sqrt{9}=6}$$…☆
☆より、$${(x+y)^2=100+\sqrt{9991}+100-\sqrt{9991}+6=206}$$（答え）
(2)
(1)より、$${206=(x+y)^2}$$なので、$${\sqrt{206}=x+y}$$.
よって、与式＝$${2x-(x+y)=x-y=\sqrt{100+\sqrt{9991}}-\sqrt{100-\sqrt{9991}}}$$.
ここで、$${(x-y)^2=x^2+y^2-2xy}$$とすると、
☆より、$${100+\sqrt{9991}+100-\sqrt{9991}-6＝194}$$
$${x-y>0}$$より、$${x-y=\sqrt{194}}$$（答え）
この手の計算問題のポイントは2つです。
① " 文字処理 " に持ち込む
② " 前の問題 " を利用する
極力数字は扱わずに、いかに文字で処理できるかを意識します。
また、なぜ (1) が出題されたのかをよく考えます。
ほとんどの場合、次の問題へのステップになってますからね。
今回は数学の問題を解いてみました！
頭の体操に、ぜひやってみて下さい。
次はこんな問題 ↓
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