高校数学ⅠA:わかりやすくルート2が無理数である証明と偏差値の定義に補足

写真は偏差値(日本の受験業界でしか使わない統計データ)の定義式. データに極端な偏りがあれば, いくらでも偏差値が大きくなるのは数学的に当たり前で, 100や120など極端に大きいなら, そもそも統計データとして測れない能力である場合がある. 知能指数も, 病気や障害の診断に使い, 能力の有無を示す指標ではないことは, 医療従事者なら誰もが知る(ちなみに私の言語性の知能指数は101から103である. 平均並みだから, 努力でどうにでもする. できるかできないかはどうでもよくて, やるしやってきた). 「0点だって  気になどするな  そんなことで君の人生  決まりはしない」(『0点チャンピオン』).

[命題]
$${\sqrt 2}$$は実数である.

[証明]
実数の正確な定義による. 詳しくはこちら:

[定理]
$${\sqrt 2}$$は無理数である.

[証明]
$${\sqrt 2}$$は実数である. 無理数でないとしてみる. 全ての実数は, 有理数か無理数か, どちらか片方である. 有理数だとして, なるべく約分して, 約分しきれたら, 共通因数が1しかない正の整数$${m, n}$$で$${\sqrt 2 =m/n}$$と書けるものが存在する. 両辺を2乗し分数をなくせば$${2m^2=n^2}$$である. 自然数の2乗が偶数でない, つまり奇数なら, もともと奇数だから(整数が2で割り切れないなら, 2回かけても2で割り切れはしない), $${n^2}$$が偶数なら$${n}$$も偶数で, $${n=2k}$$となる正の整数$${k}$$が存在する. 代入して両辺を2で割ると$${m^2=2k^2}$$である. ゆえに$${m}$$も偶数だ. 約分しきったのに, まだ2で割れる. なんかおかしいから, $${\sqrt 2}$$は有理数ではない. それでも私は$${\sqrt 2}$$が有理数だと考えたが, この議論が永遠に続き, 約分しきったと言いながら約分が終わらなかった. $${\sqrt 2}$$は少なくとも実数だから, 有理数でないなら, 無理数でしかない.
(END)