算数や数学で0で割ってはいけない理由: 全ての数が0だと証明できるから

分数$${a/b}$$(a over b, a divided by b)とは$${bx=a}$$の解$${x}$$として定義される. $${a}$$という量を$${b}$$ごとに分けた量$${x}$$とは, $${b}$$倍して$${bx}$$にしたら$${a}$$になる量である.

$${0}$$で割ることが認められて, $${1/0}$$が何かの数だとしよう. $${1/0}$$は$${0x=1}$$の解$${x}$$である.しかし, 0にどんな数を掛けても0 (ちなみに, 0にどんな数を掛けても0であることは, 厳密な実数論では, 定理)だから
$${0=1}$$
が成り立つ. 両辺に好きな数$${y}$$を掛けると
$${y=0}$$
となる. つまり, 0で割ることを認めると, 全ての数が0になってしまう. だから, 0で割ることは認めないのが普通である(例外も, 例えばリーマン球面の無限遠点があるが, 例外なりのルールがある. 普通の計算で0で割ると論理的に矛盾した結論が出る).

よく, $${x}$$を0に近づけると(0に向かって小さく, 例えば 0.001, 0.00001, 0.0000001, … とすると)
$${\lim_{x\to 0} 1/x =±\infty}$$
つまり$${1/x}$$はいくらでも大きくなる($${x\lt 0}$$なら負のまま絶対値がいくらでも大きくなる), だから0では割れない, とも説明される. しかし, それは「$${y=1/x}$$を$${x=0}$$でも連続であるように$${x=0}$$で定義できない理由」であり, 0で割れない説明ではない. 積分の計算で便宜上$${1/0=0}$$と決めても構わない(関数値を定義しないといけないが, どのように決めても積分値が変わらない状況に限る). いずれにせよ, 意味をただ一つに決めて普通に0で割ることはできない.