二直線があって、同位角が等しいならば、その二直線が平行になるのはなぜ？

　 中学生で学ぶ「対頂角」「同位角」「錯角」のお話。

　対頂角は、適当に「✕」をかいたときに互いに向き合っている角のことで、対頂角は等しい。

　同位角とは、ヘッダーの図のような「∠a」のこと。２つの∠aはいずれも「右上」にあり、「『同』じ『位』置にある『角』」だから「同位角」という。平行線ならば、「同位角は等しい」という性質がある。

　錯角とは、「Z」を書いたときにできる２つの角のようなもので、平行線ならば「錯角は等しい」という性質がある。　

　対頂角が等しいことは簡単に証明できる。平行線の錯角が等しいことも「対頂角が等しい」ことと「平行線の同位角が等しい」ことを使えば、簡単に証明できる。

　しかし、「平行線の同位角が等しい」ことは、どうやって証明するのだろうか？

　「平行線の同位角」が等しいことは、直感的には明らかなのだが、図書館に置いてあった中学生の教科書を読んでも、証明は書いていなかった。

　「当たり前だから」で済ませていると思われるが、調べてみると、「平行線の同位角が等しい」ことを証明するには、「背理法」を使うのが一般的らしい。なるべく分かりやすく書くと次のようになる。

証明したいこと
「平行線の同位角が等しい」こと。

背理法
　平面上にある２直線は、平行であるか、あるいは、平行ではないか、のいずれかだから、「平行線ではないのに、同位角が等しいと考えて、矛盾することが出てくる」ならば、平行線の同位角は等しいことが証明されたことになる。

　「２直線が平行ではない」ということは、言い換えれば「２直線が交わる」ということ。

背理法による証明

　直線Ｌと直線Ｍが点Ｂで交わっていて、直線Ｌ上に点Ａ、直線Ｍ上に点Ｂを「∠a = ∠a'」になるようにとる。

　このとき、対頂角は等しいから、
「∠a = ∠b」•••①

また、△ABC において、
三角形の外角は、それと隣り合わない内角の和に等しいから、
「∠b + ∠c = ∠a'」•••②

ここで、①より∠a = ∠bだから、
②は次のようになる。

「∠a + ∠c = ∠a' 」•••③

しかし、③は、「∠a = ∠a'」という仮定に矛盾する。

　よって、交わる２直線の同位角は等しくない。
　ゆえに、平行線の同位角は等しい。

•••QED

　これで一応証明は終わりなのだが、中学生の教科書では、「三角形の外角はそれと隣り合わない２つの内角の和に等しい」ことを証明するときに、「平行線の同位角が等しいこと」と「平行線の錯角が等しいこと」を利用する。

　だから、私には、「循環論法」のような気がして、すこし納得ができない。

　「平行線の同位角が等しい」ことは、直感的には明らかなのだから、それをそのまま認めましょう！、でもいいのだが、厳密さの上に成り立つ数学だから、当たり前のことでもきちんと説明してほしいという気持ちもある。

ゆいさん、ありがとうございます😊。

https://note.com/joyous_lily651/n/ne7c74c6c1986

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