平行線の同位角について

こんにちは！

今日は山根様の記事を拝見していて
確かに私も証明が分からないぞ？と思ったので、自分なりに調べたことをまとめたい。

この記事の前にぜひ元の記事をご確認ください！

示したいこと

「平行線の同位角は等しい」

証明

少なくともユークリッド幾何学の範囲で考えたいので第五公準は認める。

つまり
「1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる」(wikiより)
を認める

これの対偶を取ることで
平行な2直線ではα+β=180°となる
ということが分かる(というか公理)

(「平行」とは？という話は一旦置いておく)

さて、ここで第五公準を用いずに
直線が2直角(つまり180°)であることを証明できる(らしい)

これを用いると

α+β=180°かつβ+γ=180°となる

よってα=γで証明完了

ちなみにこの逆や三角形の内角の和が180°であることも第五公準と同値

つまるところ実質的に証明不可能なわけだ。
(どれかを認めないといけないから)

中学で習う簡単そうな概念でもよくよく考えると難しい...

これは、、、？

私は最初次のような証明を思いついた。

先ほどの写真で2つの交点を上からA,Bとする。
そこからもう一方に垂線を下ろす
すると出来上がった四角形は平行四辺形になる(平行四辺形は「向かい合う2組の辺が平行である」を定義とする)
すると平行四辺形は向かい合う辺の長さが等しいので、二つの三角形は合同になり、合同な三角形は対応する角が等しい。
最後に対頂角を使えば終わり！

として満足したのだが、これはもちろん循環論法になっている。
自分で気付けたから良かったが...