【数と式】証明問題で迷わない！「対偶」と「背理法」それぞれのオススメな使い分け
数学の「数と式」の単元で立ちはだかる壁、証明問題。
「直接証明するのは難しそうだから別の方法を使おう！」と思ったとき、「対偶を用いた証明」と「背理法」、どちらを使えばいいかパッと判断できずに手が止まってしまうことはありませんか？
今回は、数学ガチ勢が頭の中でやっている「それぞれの証明方法が向いている場合」の判断基準をご紹介します！
💡 対偶の使用がオススメな場合
「AならばBである」を「BでないならばAでない」と言い換えて証明する「対偶」。
この方法が効果を発揮するのは、次のような場面です。
高い次数 ➔ 低い次数の証明
例えば「n^2 が偶数ならば、n は偶数である」など。2乗から1乗を導くような、次数を下げる方向への証明は直接やると難しいですが、対偶をとることで「低い次数 ➔ 高い次数」という計算しやすい形に変えることができます。
偶数・奇数・倍数の証明
「〜は偶数である」「〜は3の倍数である」といった数の性質を証明する問題と非常に相性が良いです。
💡 背理法がオススメな場合
「仮に結論が間違っているとすると、おかしなこと（矛盾）が起きる！」と指摘することで、元の結論の正しさを証明する「背理法」。
この手法は、以下のような場面で威力を発揮します。
矛盾を導けそうな場合
「無理数である」「〜が存在しない」など、否定形を仮定した方が式を作りやすい場合にとにかく有効です。（例：「√(2) は無理数である」の証明など。）
「等しい」「等しくない」の証明
「AとBは等しくない」ことを証明したい時に、「仮にAとBが等しいとすると…」とスタートすることで、決定的な矛盾を引き出しやすくなります。
まとめ
次数を下げたい時や、偶奇・倍数の問題なら ➔ 【対偶】
否定から入って矛盾を突けそうな時や、等式・不等式の証明なら ➔ 【背理法】
まずはこの基準を頭に入れておくと、問題文を見た瞬間に「今回はこっちで攻めよう」と当たりをつけやすくなり、解答スピードがグッと上がります。
必ずしも全ての問題がこの法則通りに当てはまるとは限りませんが、たくさん問題を解いて、使い分けの感覚をマスターしていきましょう！