【数学】直線のベクトル方程式，交点の位置ベクトルなど

2023年7月21日 23:55

対象：定期試験以上

今回は　直線のベクトル方程式　についてです
前提として　以下を参照しておくとよいと思います

直線のベクトル方程式　とは　直線上の点Pの位置ベクトル$${\vec{p}}$$が満たす式のことです
最初に出てきたのは　内分点・外分点の位置ベクトルでした

$${m}$$や$${n}$$が決まれば　$${\vec{p}=\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}}$$　のようになり
これは点P$${(\vec{p})}$$位置を表しています
AP：PB=2：1　の内分点ですね
$${m}$$，$${n}$$を動かせば，Pはそれに伴って動いていきます

これが一般化され　直線AB上の点の位置ベクトルを表す式となっていきます
パラメータとして$${t}$$をよく用います

まとめると

どれも同じ式だという理解が必要です
特に③④では

「係数の和＝1」となるとき，Pは直線AB上にある

となります　よく使うので覚えましょう
ちなみに　最初に紹介した内分点，外分点の位置ベクトルも
当然　直線AB上にありますから「係数の和=1」を満たしています

逆に「係数の和=1」が成り立たないなら　直線ABとはなりません
別の直線となります

基礎ですが重要問題を2問ほど確認です

「Aを位置ベクトルの基準として考えよう」と問題文では言っています
また　Pが「BE上」かつ「CD上」と書いてありますから
それぞれ別々に表して　連立方程式です
やっていることは　中2の2直線の交点をもとめる操作と　本質的には同じです
Qについても「AP上」かつ「BC上」とありますので同様です
また　次のようにうまく変形すると　連立方程式を回避することができます