【TED-Ed × TOEFL対策】数字をゼロで割ってはいけない理由？

2025年5月15日 19:35

「ゼロで割ってはいけない」
数学で誰もが一度は言われたことのあるルールですが、
なぜダメなのかを正しく説明できる人は意外と少ないのではないでしょうか？

今回視聴したTED-Ed動画「Why can’t you divide by zero?」で、
ゼロ除算がなぜうまくいかないのか、そしてそれでも数学者たちが「禁じられた計算」に挑んできた理由が、語られていました。

TOEFL対策につながる語彙や表現をまとめたいと思います！

※ちなみに、「TOEFL をノー勉で初受験したレポート」、「その結果」はこちらの記事にまとめてあります。最近はスコアアップを目指して、「内容の正確な理解」を意識しながら、1日5分のTED-Ed動画学習を続けています。

1. ゼロで割ると無限になる…って本当？

割る数がどんどん小さくなっていくと、答えはどんどん大きくなります。たとえば、10 ÷ 2 = 5、10 ÷ 1 = 10、10 ÷ 0.000001 = 10,000,000 ……と続いていくと、「10 ÷ 0 はinfinity（無限）なのでは？」と思ってしまいます。

でも実際には、0 に all the way down to（最終的に〜に至るまで） 近づく数で割ると、答えが tend towards（〜に向かう傾向がある） ∞（無限）になるだけで、
「10 ÷ 0 = ∞」になるわけではないのです。
その考えは plausible（もっともらしい） ように聞こえても、正確ではありません。

2. 割り算の本質は「逆向きの掛け算」

10 ÷ 2 は、「2を何回足したら10になるか？」でもあり、「2 × □ = 10 を満たす□は何か？」という問いでもあります。これは「割り算 = 掛け算の逆」ともいえる考え方。
このとき、掛け算の“逆の操作”を担うのが、multiplicative inverse（乗法逆数）です。

たとえば、「ある数に x を掛けたあとに get back to（〜に戻る） 元の値に戻るような数」があれば、それが x の逆数です。

3. 逆数は「掛けて1になるペア」

たとえば、3 に 2 をかけると 6 になりますが、そこに one-half（2分の1） をかけると、元の 3 に戻ることができます。つまり、2 の乗法逆数は 1/2、10 の乗法逆数は one-tenth（10分の1） ということになります。

このように、the product of（積） どんな数でも、その乗法逆数と掛けると、必ず 1 になります。

ちなみに、四則演算の答えは、以下のように呼び分けられます：

sum = 足し算の答え（和）
difference = 引き算の答え（差）
product = 掛け算の答え（積）
quotient = 割り算の答え（商）

4. 0に逆数は存在しない

仮に「1 ÷ 0 = x」として考えると、0 × x = 1 を満たす x が必要になります。
でも、どんな数に0をかけても結果は0。1には絶対なりません。

つまり、one over zero（1 ÷ 0 の形）という形で逆数は存在しないということになります。
このことが、ゼロで割ることが定義できない数学的理由なのです。

5. 「1 ÷ 0 = ∞」と勝手にルールを作ると…

では、「1 ÷ 0 = ∞」と勝手に make up a new rule（新しいルールを作る） してみたら、どうなるでしょうか？

分配法則（distributive property）を使うと、「0 × ∞ + 0 × ∞ = 2」という式は、最終的に reduce down to（〜に縮約される） 「0 × ∞ = 1」になってしまいます。

結果、「1 = 2」という矛盾に至ります。

「矛盾があるからダメ」と言い切れないのが数学の面白いところで、
実際に「負の数の平方根は存在しない」とされた時代に、数学者たちは新しい世界を築きました。

それが、complex numbers（複素数）です。
とはいえ、「ゼロで割る」という問題は、やはりそれほど単純ではありません。

Riemann sphere（リーマン球）という概念で別のアプローチがあるものの、ultimately（結局のところ）、無限とゼロを等しいものとして扱うのは not all that（それほど） 有用とは言えないのです。

in the meantime（当面のあいだは）、
ゼロ割りを通常の方法で扱うのは、うまくいきません。
（It doesn’t work out so well.）

でもだからといって、ルールを疑ってはいけない、というわけではありません。
数学の歴史は、live dangerously（危険を冒してでも挑戦する）姿勢によって、新たな発見や世界が広がってきたものなのです。

まとめ｜なぜ、から広がる数学の世界

数学の世界は奥が深く、すぐに混乱してしまいそうになることもあります。
でも、「なぜ０で割っちゃダメなの？」という素朴な疑問は、
子どもたちでも簡単に口にしそうな問いですよね。

なので、その導入部分だけでも誤魔化さずに説明できるようにするには、
乗法逆数を使った矛盾を示すという考え方が、ひとつのよいアプローチなのかもしれません。

これからも、英語を通してさまざまなことを楽しく学び、
TOEFL試験にもつなげていきたいと思います！

ここまで読んでくださり、ありがとうございました！
「数学おもしろいよね」「自分も英語がんばろう」など、
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