95%信頼区間を正しく読む―「真の値が95%の確率で入る」ではない―

前回は、母集団と標本、そして標準偏差SDと標準誤差SEの違いについて書きました。

今回は、その続きです。

論文の結果には、しばしば次のような数字が出てきます。

平均年齢 68歳［95%信頼区間 65.6〜70.4歳］。

血圧の平均差 −5 mmHg［95%信頼区間 −8〜−2 mmHg］。

ハザード比 0.78［95%信頼区間 0.62〜0.98］。

この

95%信頼区間

は、推定値がどれくらい不確かなのかを考えるための大切な情報です。

ところが、意味を誤解されやすい数字でもあります。

「真の値が、この区間に入っている確率が95%」

「患者さんの95%が、この範囲に入る」

と読みたくなりますが、通常の頻度論的な95%信頼区間は、どちらの意味でもありません。

今回は、95%信頼区間が何を示し、論文ではどこを確認すればよいのかを整理します。

点だけでは、推定の不確かさが分からない

たとえば、100人の標本を調べたところ、平均年齢が68歳だったとします。

この68歳は、母集団の平均年齢を推定するために標本から得た値です。

このように一つの値で示す推定を、

点推定

と呼びます。

英語では、

point estimate

です。

しかし、別の100人を選べば、平均年齢は67歳になったり、69歳になったりするかもしれません。

つまり、68歳という点だけを見ても、母集団の平均年齢をどれくらい精密に推定できているのかは分かりません。

そこで、下限と上限を持つ区間で示します。

これを、

区間推定

と呼びます。

英語では、

interval estimate

です。

信頼区間は、点推定の周りにある不確かさを、幅のある区間として示したものです。

まずは計算の形を見てみる

平均値の95%信頼区間は、条件が満たされる単純な場合、おおよそ次の形になります。

推定値 ± 1.96 × SE

SEは標準誤差です。

前回と同じ例を使います。

平均年齢は68歳。

年齢のSDは12歳。

標本サイズは100人。

平均値のSEは、

SE = SD ÷ √n

なので、

SE = 12 ÷ √100 = 12 ÷ 10 = 1.2歳

です。

ここから、95%信頼区間を近似すると、

68 ± 1.96 × 1.2

68 ± 2.352

となります。

小数第1位に丸めると、

65.6〜70.4歳

です。

計算の流れを一枚にまとめると、次のようになります。

大切なのは、点推定68歳の左右に、SEから計算した2.352歳の幅を足し引きしていることです。

この区間は、患者さん一人一人の年齢の範囲ではありません。

母集団の

平均年齢

を推定するための区間です。

なお、母集団のSDが分からず、標本のSDから推定する通常の場面では、標準正規分布の1.96ではなく、標本サイズに応じたt分布の値を使います。

また、割合、中央値、オッズ比、ハザード比などでは計算方法が異なります。

すべての95%信頼区間を機械的に「推定値 ± 1.96 × SE」で計算できるわけではありません。

まずは、

信頼区間は、推定値の不確かさを下限と上限のある範囲で示したもの

と考えれば十分です。

平均値の単純な例では推定値とSEから計算できますが、推定対象や方法によって作り方は異なります。

「95%」は何を意味するのか

ここが、今回最も大事なところです。

同じ母集団から、同じ人数の標本を無作為に取り出すとします。

1回目の標本から、95%信頼区間を作ります。

2回目の標本からも、同じ方法で95%信頼区間を作ります。

3回目、4回目と、同じ手順を繰り返します。

標本に入る人が変わるため、平均値もSEも少しずつ変わります。

したがって、作られる信頼区間も毎回少しずつ変わります。

この操作を非常に多く繰り返したとき、

作られた区間のおよそ95%が、真の母数を含む

ように設計された方法が、95%信頼区間です。

100回行えば必ず95回になる、という意味ではありません。

回数が少なければ、93回かもしれませんし、97回かもしれません。

長い目で見たときに、およそ95%の区間が真の値を含むという性質です。

真の値ではなく、区間のほうが動く

頻度論的な考え方では、母集団の真の平均値は一つに固定されています。

ただし、私たちにはその値が分かりません。

一方で、標本は取り直すたびに変わります。

標本から計算する信頼区間も変わります。

つまり、繰り返しの中で動くのは、

真の値ではなく、信頼区間

です。

一度データを集めて、65.6〜70.4歳という区間が計算された後、その区間はもう固定されています。

真の平均年齢も固定されています。

その区間が真の値を含んでいるか、含んでいないかのどちらかです。

したがって、通常の頻度論的な信頼区間を、

「真の平均年齢が65.6〜70.4歳に入る確率は95%」

と厳密に解釈することはできません。

実務では、

「母集団の平均年齢は68歳と推定され、95%信頼区間は65.6〜70.4歳だった」

と書くのが安全です。

さらに平易に言うなら、

この方法と仮定のもとで、データと両立する母集団平均の範囲を示している

と考えると、論文を読みやすくなります。

ただし、信頼区間の中のすべての値が同じ程度に支持されている、あるいは区間の外の値が完全に不可能、という意味でもありません。

患者さんの95%が入る範囲ではない

もう一つ多い誤解があります。

平均年齢の95%信頼区間が65.6〜70.4歳だったとき、

「患者さんの95%が65.6〜70.4歳にいる」

という意味ではありません。

この例では、患者さん一人一人の年齢のばらつきはSD 12歳でした。

患者さんの年齢は、65.6〜70.4歳よりもずっと広く分布している可能性があります。

信頼区間が示すのは、

平均値という推定値の不確かさ

です。

個人の値がどれくらい散らばっているかを見るなら、SD、IQR、ヒストグラムなどを確認します。

将来観察する一人の値が入りそうな範囲を示したいなら、目的と仮定に応じて予測区間など、別の方法が必要です。

似た「区間」でも、何の区間なのかを確認する必要があります。

二つの違いを図で並べると、次のようになります。

左側は個人データの広がり、右側は母集団の平均値を推定する幅です。

信頼区間が狭い、広いとは何か

信頼区間が狭いとき、推定値の不確かさは比較的小さく、推定は精密です。

信頼区間が広いとき、推定値の不確かさは大きく、母数として考えられる値の幅も広くなります。

たとえば、同じ平均68歳、SD 12歳でも、標本サイズが違うとします。

ここでは、SD 12歳を標本SDとします。

母集団のSDは分からないため、古典的な一標本平均の95%信頼区間では、自由度n−1のt分布を使います。

n = 25なら、

SE = 12 ÷ √25 = 2.4歳

自由度24のt値は約2.064です。

68 ± 2.064 × 2.4

したがって、95%信頼区間は、

約63.0〜73.0歳

です。

n = 100なら、

SE = 12 ÷ √100 = 1.2歳

自由度99のt値は約1.984です。

68 ± 1.984 × 1.2

したがって、95%信頼区間は、

約65.6〜70.4歳

です。

nが大きいほどt値は1.96に近づくため、n = 100では1.96による近似でも小数第1位まで同じ結果になります。

標本サイズが大きいほうがSEが小さくなり、信頼区間も狭くなります。

信頼区間の幅を決めるもの

信頼区間の幅には、いくつかの要因が関係します。

まず、

標本サイズ

です。

ほかの条件が同じなら、標本サイズが大きいほどSEは小さくなり、信頼区間は狭くなります。

次に、

データのばらつき

です。

SDが大きければSEも大きくなり、信頼区間は広くなります。

そして、

信頼水準

です。

同じデータなら、90%信頼区間より95%信頼区間のほうが広く、95%信頼区間より99%信頼区間のほうが広くなります。

より高い割合で真の値を含む方法にしようとすると、その分だけ広い網をかける必要があるからです。

さらに、研究デザインや解析方法も関係します。

同じ人を繰り返し測定したデータ。

患者さんが施設ごとにまとまっているデータ。

欠測を補ったデータ。

複雑な回帰モデルから得た推定値。

このような場合は、観測値同士の関係やモデルの仮定を考慮してSEと信頼区間を計算します。

単純な式だけでなく、どの方法で信頼区間を計算したのかも大切です。

95%を99%にすれば、いつもよいのか

99%信頼区間は、95%信頼区間より高い割合で真の値を含むように作られます。

それなら、いつも99%を使えばよいように見えます。

しかし、同じデータでは99%信頼区間のほうが広くなります。

真の値を取りこぼしにくくしようとすると、推定できる範囲は広くなります。

つまり、

信頼水準の高さ

と

区間の狭さ

の間には、バランスがあります。

95%は自然法則で決まった数字ではありません。

多くの研究分野で慣例的によく使われている信頼水準です。

目的や意思決定の重さによっては、90%や99%など別の信頼水準を使うこともあります。

狭い信頼区間でも、正しいとは限らない

ここも重要です。

信頼区間が狭いことは、

精密であること

を示します。

しかし、

偏りがないこと

までは保証しません。

たとえば、日本の高血圧患者さん全体について知りたいのに、一つの専門病院に通う重症患者さんだけを大量に集めたとします。

人数が多ければ信頼区間は狭くなるかもしれません。

しかし、標本が母集団を代表していなければ、推定値は母集団の値から系統的にずれている可能性があります。

測定方法に偏りがある場合も同じです。

交絡が十分に調整されていない観察研究では、狭い信頼区間が得られても、その関連を因果効果と解釈できるとは限りません。

通常の信頼区間が主に数量化するのは、仮定したデータ生成過程と解析モデルのもとでのランダムな標本変動です。未調整のバイアスを含む、研究上のすべての不確かさを表すものではありません。

研究に入りにくかった人。

測定されなかった要因。

誤分類。

モデルの誤り。

こうしたすべての問題を、信頼区間の幅だけで表せるわけではありません。

狭い区間は精密さを示すが、研究の妥当性を自動的に保証しない

と考える必要があります。

「差がない値」を含むかを見る

治療効果や群間差の信頼区間では、

差がないことを表す値

を確認します。

平均値の差。

リスク差。

回帰係数。

これらでは、差がない値は、

0

です。

一方で、

リスク比。

オッズ比。

ハザード比。

これらの比の指標では、差がない値は、

1

です。

たとえば、収縮期血圧の平均差が、

−5 mmHg［95%信頼区間 −8〜−2 mmHg］

だったとします。

この95%信頼区間は、差がないことを表す帰無値0を含みません。

同じ推定対象、解析モデル、計算法に基づく通常の両側検定では、95%信頼区間が帰無値を含まないことは、一般にp < 0.05と対応します。

ただし、丸めや計算法が異なる場合には完全に一致しないことがあります。

一方で、

−5 mmHg［95%信頼区間 −12〜2 mmHg］

なら、区間は帰無値0を含んでいます。

データは、比較的大きな低下とも、差がほとんどない場合とも、小さな上昇とも両立します。

ここで、

「有意差がないから、差はない」

と結論することはできません。

区間が広ければ、重要な効果がある可能性も、ない可能性も、まだ区別できていないだけかもしれません。

統計学的有意差と、臨床的な重要性は別

95%信頼区間が帰無値0や1を含まないと、統計学的有意差に注目しがちです。

しかし、統計学的に有意であることと、臨床的に重要であることは同じではありません。

たとえば、非常に大きな標本では、血圧の平均差が−0.5 mmHgでも信頼区間が帰無値0を含まないことがあります。

統計学的には差を検出できても、その差が患者さんにとって重要かは別に考える必要があります。

逆に、臨床的には重要そうな差が見られても、標本サイズが小さく信頼区間が広ければ、結果は不確かです。

信頼区間を読むときは、

帰無値0や1を含むか。

区間は広いか、狭いか。

臨床的に重要な差を含むか。

害になる可能性のある値を含むか。

を一緒に見ます。

単に「有意」「有意ではない」の二つに分けるより、結果から得られる情報が多くなります。

信頼区間には、前提条件がある

95%という性質は、どのような研究でも自動的に保証されるわけではありません。

標本の取り方。

観測値の独立性。

選んだ統計モデル。

分布についての仮定。

標準誤差の計算方法。

欠測値の扱い。

これらが不適切なら、実際に真の値を含む割合が想定した95%からずれることがあります。

特に、標本サイズが小さい場合。

データが強く歪んでいる場合。

まれなイベントを扱う場合。

同じ対象を繰り返し測定している場合。

施設や家庭などのまとまりがある場合。

通常の単純な方法が適切かを確認する必要があります。

論文では、信頼区間の数字だけでなく、その区間を作った方法も確認します。

論文を読むときに確認すること

信頼区間を見たら、まず、何の推定値に対する区間かを確認します。

平均値なのか。

平均値の差なのか。

割合なのか。

リスク比なのか。

オッズ比なのか。

ハザード比なのか。

次に、点推定値と区間の両端を見ます。

推定値はどこにあるか。

区間は広いか、狭いか。

差がない値である0または1を含むか。

臨床的に重要な値を含むか。

有害な可能性のある値を含むか。

そして、研究の方法を確認します。

誰が標本に入ったか。

標本サイズは十分か。

対象者の選ばれ方に偏りはないか。

信頼区間はどの方法で計算されたか。

研究デザインやデータ構造が考慮されているか。

信頼区間を一つの合格・不合格の線として使うのではなく、

どの程度の効果までデータと両立しているのか

を見ることが大切です。

まとめ

今回は、95%信頼区間について整理しました。

点推定

は、母数を一つの値で推定したものです。

信頼区間

は、その推定値の不確かさを、下限と上限のある区間で示したものです。

条件が満たされる単純な場合、平均値の95%信頼区間は、おおよそ、

推定値 ± 1.96 × SE

で考えられます。

ただし、実際の計算方法は推定するものやデータの構造によって変わります。

95%という数字は、

同じ方法で標本抽出と区間推定を非常に多く繰り返したとき、作られた区間のおよそ95%が真の母数を含む

という意味です。

一つの区間について、真の値がその中に入る確率が95%という意味ではありません。

患者さんの95%がその区間に入るという意味でもありません。

信頼区間が狭ければ推定は精密です。

信頼区間が広ければ不確かさは大きくなります。

しかし、狭い信頼区間でも、選択バイアス、測定の偏り、交絡、モデルの誤りがないことまでは保証されません。

差の信頼区間では0を、比の信頼区間では1を含むかを確認します。

ただし、帰無値0や1を含まないことと、臨床的に重要であることは別です。

論文を読むときは、

点推定だけでなく、区間の幅を見る

データと両立する値の範囲を見る

臨床的に重要な値や有害な値を含むかを見る

信頼区間の計算方法と研究の偏りを確認する

ことが大切です。

次回は、

p値

について扱います。

「p = 0.03なら、帰無仮説が正しい確率は3%」ではありません。

p値は何を条件に、何の確率を計算しているのか。

そして、信頼区間とp値はどのようにつながっているのか。

ここを整理していきます。

参考文献

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Confidence Limits for the Mean.
https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda352.htm

Orloff J, Bloom J. MIT OpenCourseWare 18.05 Introduction to Probability and Statistics. Confidence Intervals.
https://ocw.mit.edu/courses/18-05-introduction-to-probability-and-statistics-spring-2022/

Greenland S, et al. Statistical tests, P values, confidence intervals, and power: a guide to misinterpretations. Eur J Epidemiol. 2016;31:337–350.
https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/27209009/