Cinderellaで数学：いろいろな曲線：デカルトの三叉曲線
「曲線の事典」（礒田正美他・共立出版2009）に掲載されているデカルトの三叉曲線です。
Web上では次のページに作図器の写真と説明があります。タイトル画面はこの作図器を模したものです。
本の方の定義は次のようになっています。
放物線 $${p}$$ は放物線の軸 $${a}$$ に沿って平行に動かすことができる。定点Cを軸 $${a}$$ 上にない点，点Aを放物線の頂点Vと連動して動く点（VA=$${h}$$）とし，２点A，Cを通る直線を $${r}$$ とする。放物線 $${p}$$ が動くとき，直線 $${r}$$ と放物線の交点P，Qは三叉曲線をかく。
これをCinderellaで描きます。
Cinderellaには，準線と焦点を指定して放物線を描くツールがあります。放物線 $${p}$$ はこれを使いますが，軸に沿って平行に動かすためにちょっと工夫が必要です。
まず，軸はそのままy軸に取りましょう。背景のy軸に重ねて直線を引き，直線上（y軸上）に点を１つとります。これが動点Aです。ただし，作図順の関係で名前はCになっています。この点を動かすと放物線が平行移動するように，焦点と準線をとります。焦点を取るために円を描き，y軸との交点を取り（焦点：D），その点を中心とする円を描きます。その円とy軸との交点Eを通る垂線を描きます。これが準線です。
「焦点と準線で決まる放物線」ツールを使って放物線を描き，平面上の適当なところに点を取ります（F）。これが説明文の定点Ｃです。始めに取った点Cとこの点を通る直線を引き，放物線との交点を２つ作図します（G，H）。
動点Cをドラッグして，放物線が平行移動することを確かめ，２つの交点G，Hの動きをみましょう。軌跡ツールを選んで，動かす点として動点C，軌跡を描く点として２つの交点のうち一方(H)を選択すると軌跡が表示されます。
これでよさそうですが，動かしてみると点Fより右側の軌跡が途中で切れたり直線状になったりします。そこで，方程式を使ってグラフを表示してみます。
次のように解説が書かれています。
軸 $${a}$$ を y 軸，点Cを通り軸 $${a}$$ に直交する直線を x 軸とする直交座標系を考える。原点 O，C$${(d,0)}$$，OV=$${k}$$，VA＝$${h}$$とし，放物線 p を$${y=ax^2+k}$$とするとき、直線 r の方程式は$${y=-\dfrac{h+k}{d}(x-d)}$$と表される（$${d}$$ ≠ 0）。ここで、直線 r と放物線 p の交点P，Qを求めて、交点からパラメータ $${k}$$を消去することにより。三叉曲線 $${xy=(ax^2-h)(x-d)}$$すなわち，$${xy=ax^3-adx^2-hx+dh}$$を得る。
図の点の名前などを本の図に合うように，また補助円を非表示にするなど体裁を整えて，この方程式でグラフを表示してみましょう。
いま，焦点は作図した名称では D，準線はEを通る直線です。Dのy座標はD.y，Eのy座標はE.y で得られるので，放物線の頂点はその中点で，頂点が原点になるように平行移動して考えると，b = (D.y - E.y)/2 ，c = (D.y + E.y)/2 として，放物線の方程式は $${y=\dfrac{1}{4b}x^2+c}$$となります。次のようなスクリプトを書いて実行します。
b = (D.y - E.y)/2;
c = (D.y + E.y)/2;
//plot(x^2/(4b)+c);
a = 1/(4b);
k = c;
h = A.y - c;
d = C.x;
plot(ax^2-adx-h+dh/x, color -> [0,1,0]);
緑の線が，Cinderellaが描いた軌跡と異なるところです。ですから，Cinderellaの軌跡ツールではなく，CindyScript で描いた方がいいでしょう。そうすれば，HTMLに書き出してWeb 上でも動かせます。
Web上で青の放物線の位置を変えたり，Cの位置を水平方向に動かしたりできるものを作りました。