함수

다른 뜻에 대해서는 함수 (동음이의) 문서를 참고하십시오.

함수를 입력과 출력으로 나타낸 그림. 입력 $x$ 하나에 출력 $f(x)$ 하나가 정해진다.

수학에서 함수(函數, 영어: function)는 한 집합의 각 원소에 어떤 집합의 원소를 하나씩 대응시키는 것이다. 사상(寫像, 영어: map, mapping)이라고도 한다. 여기서 중요한 조건은 첫 번째 집합의 모든 원소에 대응하는 값이 있어야 하며, 그 값은 각각 하나로 정해져야 한다는 점이다. 예를 들어 각 실수에 그 제곱을 대응시키면 함수가 된다. 이 함수는 $2$에는 $4$를, $-2$에도 $4$를 대응시킨다. 서로 다른 입력에 같은 출력이 대응하는 것은 허용된다.

함수는 흔히 $y=f(x)$와 같이 나타낸다. 이때 $f$는 함수의 이름이고, $f(x)$는 입력 $x$에 대응하는 함숫값이다. 입력으로 삼는 원소들의 집합을 정의역, 함숫값이 속하도록 정해 놓은 집합을 공역, 실제로 얻어지는 함숫값 전체의 집합을 치역이라고 한다. 함수는 수식뿐 아니라 표나 그림으로도 나타낼 수 있으며, 입력과 출력이 반드시 수일 필요도 없다.

함수는 변화하는 양 사이의 관계를 표현하고, 서로 다른 수학적 대상을 연결하는 데 쓰인다. 미적분학에서는 함수의 변화율과 누적량을, 선형대수학에서는 벡터 사이의 선형 변환을 연구한다. 시간에 따른 위치나 온도와 같은 현상을 수학적으로 나타낼 때에도 함수가 사용된다. 이처럼 함수는 개별적인 계산 규칙을 넘어 여러 수학 분야의 공통된 언어를 이룬다.

개념과 표기

입력과 출력

함수의 기본적인 예로, 어떤 가족의 구성원 각각에게 양력 생일의 월일을 대응시키는 것을 생각할 수 있다. 가족 구성원 한 명의 생일은 하나로 정해지므로 이 대응은 함수이다. 생일이 같은 사람이 둘 이상 있어도 상관없다. 반면 한 사람에게 그가 사용하는 모든 전화번호를 각각 대응시키는 관계는 전화번호가 없거나 여러 개인 사람이 있을 수 있으므로, 그대로는 사람마다 전화번호 하나를 정하는 함수가 되지 않는다. 이 차이는 함수가 두 집합 사이의 관계 가운데 특별한 조건을 만족하는 것임을 보여 준다.

실수에 두 배의 값을 대응시키는 함수를 $f$라고 하면 $f(3)=6$, $f(-1)=-2$이며, 일반적으로 $f(x)=2x$라고 쓴다. 여기서 $f(x)$의 괄호는 함수에 어떤 입력을 넣는지를 표시한다. $f$와 $x$의 곱을 뜻하지 않는다. 또 $f$는 대응 전체를 가리키지만, $f(3)$은 특정한 입력에서 얻은 값 $6$을 가리킨다.

$y=f(x)$에서 입력을 나타내는 $x$를 독립변수, 함숫값을 나타내는 $y$를 종속변수라고 한다. 다만 $x$가 달라질 때마다 $y$도 반드시 달라져야 하는 것은 아니다. 모든 입력에 같은 값을 대응시키는 상수 함수도 함수이다. 예를 들어 $f(x)=5$는 입력과 관계없이 함숫값이 항상 $5$이다.

화살표 표기

집합 $X$의 원소를 집합 $Y$의 원소에 대응시키는 함수는

$f:X\to Y$

와 같이 쓴다. 이 표기는 함수의 이름과 정의역·공역을 함께 밝힌다. 특정 원소가 어디로 가는지는 $x\mapsto f(x)$로 나타낸다. 예를 들어

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\qquad x\mapsto x^{2}$

는 실수 전체를 정의역과 공역으로 삼고 각 실수에 그 제곱을 대응시키는 함수이다. 집합 사이에는 $\to$를, 원소의 대응에는 $\mapsto$를 쓴다는 차이가 있다.

함숫값을 나타내는 데 사용하는 변수의 글자는 함수 자체와 구별된다. 예를 들어 같은 정의역과 공역에서 $f(x)=x^{2}$와 $g(t)=t^{2}$로 정의한 두 함수는 같다. 입력을 $x$라고 부르든 $t$라고 부르든 각 원소에 대응하는 값은 달라지지 않기 때문이다.

정의

정의역·공역·치역

함수의 정의역 $X$, 공역 $Y$, 치역 $f(X)$. 공역에는 어떤 입력에서도 함숫값으로 나타나지 않는 원소가 있을 수 있다.

함수 $f:X\to Y$의 정의역은 $X$, 공역은 $Y$이다. 치역은 정의역의 모든 원소에 함수를 적용하여 얻은 값들의 집합으로,

$f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$

와 같이 나타낸다. 따라서 치역은 항상 공역의 부분집합이다. 공역은 함수가 값을 갖는 범위로 미리 정해 놓는 집합이고, 치역은 그 가운데 실제로 함숫값이 되는 원소만 모은 집합이라는 점에서 다르다.

예를 들어 $X=\{1,2,3\}$, $Y=\{A,B,C,D\}$라 하고 다음과 같이 함수를 정하자.

유한집합 사이의 함수

입력 $x$	$1$	$2$	$3$
함숫값 $f(x)$	$D$	$A$	$B$

이 함수의 정의역은 $\{1,2,3\}$, 공역은 $\{A,B,C,D\}$, 치역은 $\{A,B,D\}$이다. 공역의 원소 $C$는 어느 입력에도 대응하지 않으므로 치역에는 속하지 않는다. 함숫값으로 수 대신 문자를 삼아도 함수의 정의에는 문제가 없다. 제곱 함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $f(x)=x^{2}$에서는 정의역과 공역이 모두 실수 전체이지만 치역은 음이 아닌 실수의 집합 $[0,\infty )$이다. 모든 실수의 제곱은 음이 아니며, 음이 아닌 모든 실수는 어떤 실수의 제곱이기 때문이다. 여기서 공역을 $[0,\infty )$로 바꾸어 함수를 정할 수도 있다. 대응하는 값은 같더라도 공역을 어떻게 정하는지에 따라 뒤에서 설명할 전사 여부가 달라진다.

집합론적 정의

집합론에서는 대응을 순서쌍의 집합으로 나타내어 함수를 정의한다. 두 집합 $X,Y$에 대하여 곱집합 $X\times Y$의 부분집합 $G$가 다음 조건을 만족한다고 하자.

• 모든 $x\in X$에 대하여 $(x,y)\in G$인 $y\in Y$가 존재한다.
• $(x,y_{1})\in G$이고 $(x,y_{2})\in G$이면 $y_{1}=y_{2}$이다.

첫 번째 조건은 입력에 대응하는 값이 빠짐없이 있음을, 두 번째 조건은 그 값이 하나뿐임을 뜻한다. 이때 유일하게 정해지는 $y$를 $f(x)$라고 하며,

$G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}$

를 $f$의 그래프라고 한다. 함수의 그래프는 이처럼 순서쌍의 집합이므로, 정의역과 공역이 수의 집합이 아니어도 정의된다.

함수를 엄밀하게 다룰 때에는 공역을 함수 자체의 구성 요소에 포함하는지에 따라 두 가지 관례가 쓰인다. 정의역·공역·그래프를 모두 지정하여 $f=(X,Y,G)$로 정의하기도 하고, 함수와 그 그래프 $G$를 같은 대상으로 보기도 한다. 전자의 관례에서는 정의역과 공역이 각각 같고 모든 입력의 함숫값이 같아야 같은 함수이다. 후자의 관례에서는 공역이 달라도 그래프가 같으면 같은 함수로 본다. 이 문서에서는 정의역과 공역을 함께 지정하는 관례를 따른다.

이 정의는 공집합에도 적용된다. 임의의 집합 $Y$에 대하여 정의역이 공집합인 함수 $\varnothing \to Y$는 하나뿐이며, 그 그래프도 공집합이다. 입력이 전혀 없으므로 위의 두 조건을 어기는 원소가 없기 때문이다. 반대로 정의역이 비어 있지 않으면 공집합을 공역으로 삼는 함수는 존재하지 않는다.

식과 정의역의 구별

함수를 수식으로 나타낼 때에는 그 식을 어느 범위에서 사용하는지도 정해야 한다. 실수 범위에서 정의역을 따로 밝히지 않았다면, 보통 식의 값이 실수로 정해지는 입력 전체를 정의역으로 이해한다. 이 관례에 따라 $f(x)=1/x$의 정의역은 $0$을 제외한 실수 전체이고, $g(x)={\sqrt {x}}$의 정의역은 $[0,\infty )$이다. 다만 상황에 따라 이보다 작은 집합을 정의역으로 지정할 수도 있다.

두 식의 모양이 다르다고 반드시 다른 함수인 것은 아니다. 같은 정의역과 공역에서 $(x+1)^{2}$와 $x^{2}+2x+1$은 모든 입력에 같은 값을 주므로 같은 함수를 나타낸다. 반대로 식을 약분할 수 있더라도 정의역의 차이는 남는다. $(x^{2}-1)/(x-1)$은 $x\neq 1$일 때 $x+1$과 같지만, 원래 식은 $x=1$에서 정의되지 않는다. 따라서 각각 가능한 실수 전체를 정의역으로 삼으면 두 식이 나타내는 함수는 같지 않다.

함수의 표현

표·대응도·그래프

제곱 함수의 그래프 $y=x^{2}$. 각 가로좌표에 세로좌표가 하나씩 정해진다.

함수는 어떤 정보를 드러내려는지에 따라 여러 방식으로 나타낸다. 유한집합 사이의 함수는 모든 입력과 함숫값을 표에 적거나, 원소 사이에 화살표를 그은 대응도로 나타낼 수 있다. 수식은 많은 입력에서의 함숫값을 간결하게 표현하는 데 유용하고, 그래프는 값의 변화와 전체적인 모양을 보여 준다. 어느 방식을 사용하든 정의역의 각 원소에 어떤 값이 대응하는지가 정해져야 한다.

실수를 입력과 출력으로 갖는 함수의 그래프는 순서쌍 $(x,f(x))$를 좌표평면 위의 점으로 표시한 것이다. 가로축에 입력 $x$를, 세로축에 함숫값 $f(x)$를 놓는다. 예를 들어 $f(x)=x^{2}$의 그래프에는 $(-2,4)$, $(0,0)$, $(2,4)$가 포함되며, 모든 실수 입력에 해당하는 점을 모으면 포물선이 된다.

어떤 점들의 집합이 $y=f(x)$의 그래프가 될 수 있는지는 세로선을 그어 살펴볼 수 있다. 하나의 세로선이 서로 다른 두 점에서 만나면 같은 입력에 출력이 둘 이상 대응하므로 함수의 그래프가 아니다. 예를 들어 원 $x^{2}+y^{2}=1$ 위에는 $x=0$인 점이 $(0,1)$과 $(0,-1)$ 두 개 있다. 따라서 원 전체는 $x$를 입력으로 하는 실숫값 함수 하나의 그래프가 될 수 없다. 그래프가 주어진 정의역의 함수를 나타내려면 그 정의역의 각 $x$에 대해 세로선이 정확히 한 점에서 만나야 한다.

한편 몇 개의 함숫값을 적은 표나 대략적인 그림만으로는 함수를 완전히 알 수 없는 경우가 많다. 정의역이 무한한데 유한 개의 값만 주어졌다면 나머지 입력에서의 값은 아직 정해지지 않았기 때문이다. 이러한 자료로 함수를 추정하는 보간법에서는 다항식과 같은 함수의 종류나 추가 조건을 정하여, 주어진 점들을 지나는 함수를 구한다.

수식과 조각별 정의

 이 부분의 본문은 구간별 함수입니다.

모든 함수를 하나의 익숙한 계산식으로 나타낼 수 있는 것은 아니다. 어떤 함수는 표로 정하고, 어떤 함수는 입력이 만족하는 조건에 따라 서로 다른 식을 사용한다. 이처럼 정의역을 나누고 각 부분에서 식을 정해 나타낸 함수를 구간별 함수라고 한다. 예를 들어 절댓값 함수는

$|x|={\begin{cases}x,&x\geq 0,\\-x,&x<0\end{cases}}$

로 나타낼 수 있다. $x$가 음수가 아닐 때에는 그대로 두고, 음수일 때에는 부호를 바꾼다. 두 식을 사용하지만 각 입력에서 적용되는 값은 하나이므로 전체가 하나의 함수이다.

조각별로 정의했다고 해서 반드시 불연속인 것은 아니다. 절댓값 함수는 두 식이 만나는 $x=0$에서도 연속이다. 반면 $x<0$일 때 $0$, $x\geq 0$일 때 $1$을 대응시키는 함수는 $0$에서 값이 갑자기 바뀐다. 연속성은 사용한 식의 개수보다, 입력이 가까워질 때 함숫값이 어떻게 달라지는지에 달려 있다.

함수의 정의가 가능하다는 사실과 그 그래프를 보통의 곡선처럼 그릴 수 있다는 사실도 구별된다. 유리수에는 $0$, 무리수에는 $1$을 대응시키는 디리클레 함수는 모든 실수에 하나의 값을 정한다. 그러나 아무리 작은 구간에도 유리수와 무리수가 모두 있으므로 그 그래프를 끊김 없이 이어진 곡선으로 그릴 수는 없다.

함수의 성질

단사·전사·전단사

 이 부분의 본문은 단사 함수, 전사 함수 및 전단사 함수입니다.

함수가 각 입력에 값을 하나씩 정한다는 조건만으로는, 서로 다른 입력이 같은 값을 갖는지 또는 공역의 모든 원소가 함숫값으로 나타나는지 알 수 없다. 이러한 성질을 구별하는 개념이 단사, 전사, 전단사이다.

• 단사 함수는 서로 다른 입력에 서로 다른 값을 대응시키는 함수이다. 즉 $f(x_{1})=f(x_{2})$이면 반드시 $x_{1}=x_{2}$이다. 일대일 함수라고도 한다.
• 전사 함수는 공역의 모든 원소가 적어도 한 번 함숫값으로 나타나는 함수이다. 즉 모든 $y\in Y$에 대해 $f(x)=y$인 $x\in X$가 존재한다. 따라서 전사 함수의 치역은 공역과 같다.
• 전단사 함수는 단사이면서 전사인 함수이다. 공역의 각 원소에 대응하는 입력이 정확히 하나씩 있으며, 일대일 대응이라고도 한다.

• 
  단사이지만 전사는 아닌 함수
• 
  전사이지만 단사는 아닌 함수
• 
  단사이면서 전사인 함수

실수의 제곱을 대응시키는 규칙을 예로 들면 정의역과 공역의 역할이 분명해진다. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $f(x)=x^{2}$는 $f(2)=f(-2)$이므로 단사가 아니며, 음수가 함숫값으로 나타나지 않으므로 전사도 아니다. 공역을 $[0,\infty )$로 바꾸면 전사가 되지만 여전히 단사는 아니다. 정의역과 공역을 모두 $[0,\infty )$로 삼으면 단사이면서 전사이므로 전단사가 된다.

집합의 크기를 비교할 때에도 전단사가 쓰인다. 두 유한집합 사이에 전단사가 존재한다는 것은 두 집합의 원소 수가 같다는 뜻이다. 무한집합에서는 전단사의 존재를 이용하여 크기가 같다는 것을 정의한다. 예를 들어 $n\mapsto 2n$은 양의 정수 전체와 양의 짝수 전체 사이의 전단사이므로, 두 무한집합의 크기는 같다.

실함수의 증가·감소와 대칭성

 단조 함수, 홀함수와 짝함수, 주기 함수 및 유계 함수 문서를 참고하십시오.

입력과 출력이 실수이면 크기를 비교하여 함수의 변화를 살펴볼 수 있다. 어떤 구간에서 $x_{1}<x_{2}$일 때 항상 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$이면 함수가 그 구간에서 단조증가한다고 한다. 입력이 커질 때 함숫값이 감소하지 않는다는 뜻이다. 부등식이 항상 $f(x_{1})<f(x_{2})$이면 엄밀히 증가한다고 한다. 단조감소와 엄밀한 감소는 부등호의 방향을 바꾸어 정의한다. 문헌에 따라 ‘증가’에 등호를 허용하는지가 다르므로, 정확한 조건은 부등식으로 명시한다. 증가와 감소는 살펴보는 구간에 따라 달라진다. $f(x)=x^{2}$는 $(-\infty ,0]$에서 엄밀히 감소하고 $[0,\infty )$에서 엄밀히 증가한다. 따라서 실수 전체에서는 증가 함수도 감소 함수도 아니다. 한편 함수의 값이 일정한 범위를 벗어나지 않는 성질도 있다. 어떤 상수 $M\geq 0$가 있어 정의역의 모든 $x$에 대해 $|f(x)|\leq M$이면 유계 함수라고 한다. 예를 들어 $\sin x$는 항상 $-1$과 $1$ 사이에 있으므로 유계이다.

정의역이 $x$와 함께 $-x$도 포함할 때에는 그래프의 대칭을 살펴볼 수 있다. 모든 입력에 대해 $f(-x)=f(x)$이면 짝함수, $f(-x)=-f(x)$이면 홀함수라고 한다. 짝함수의 그래프는 세로축에 대칭이고, 홀함수의 그래프는 원점에 대하여 점대칭이다. $x^{2}$와 $|x|$는 짝함수이며, $x^{3}$와 $\sin x$는 홀함수이다.

실수 전체에서 정의된 함수에 대하여 어떤 양수 $T$가 있어 모든 $x$에서 $f(x+T)=f(x)$가 성립하면 주기 함수라고 하며, $T$를 주기라고 한다. 예를 들어 삼각함수 $\sin x$와 $\cos x$의 주기는 $2\pi$이다. $4\pi$나 $6\pi$도 주기가 되지만, 이 두 함수의 가장 작은 양의 주기는 $2\pi$이다.

연속성과 미분 가능성

 이 부분의 본문은 연속 함수 및 미분 가능 함수입니다.

연속성은 입력의 작은 변화에 함숫값이 어떻게 반응하는지를 나타낸다. 실함수 $f$가 어떤 열린구간에서 정의되어 있고 $a$가 그 구간의 점일 때, $x$를 $a$에 가까이 보내면 $f(x)$가 $f(a)$에 가까워지는 경우 $f$가 $a$에서 연속이라고 한다. 극한을 사용하면

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

로 나타낸다. 구간 전체의 연속성은 그 구간의 모든 점에서 이 조건이 성립하는지를 살피며, 닫힌구간의 끝점에서는 구간 안쪽에서 다가가는 극한을 사용한다.

미분은 함숫값의 순간적인 변화율을 구한다. $a$ 근처에서 정의된 실함수에 대하여

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

가 유한한 실수로 존재하면 $f$가 $a$에서 미분 가능하다고 한다. 미분 가능한 함수는 그 점에서 연속이지만, 연속이라고 반드시 미분 가능한 것은 아니다. 절댓값 함수 $f(x)=|x|$는 $0$에서 연속이지만 왼쪽과 오른쪽의 기울기가 각각 $-1$과 $1$이어서 그 점에서는 미분 가능하지 않다.

함수의 연산

합성

 이 부분의 본문은 합성함수입니다.

한 함수에서 얻은 값을 다른 함수의 입력으로 사용하면 새로운 함수를 만들 수 있다. $f:X\to Y$와 $g:Y\to Z$의 합성은

$g\circ f:X\to Z,\qquad (g\circ f)(x)=g(f(x))$

로 정의한다. $g\circ f$에서는 오른쪽에 적힌 $f$를 먼저 적용하고, 그 결과에 $g$를 적용한다. 정의역 전체에서 합성을 하려면 앞 함수의 함숫값을 뒤 함수에 입력할 수 있어야 한다.

예를 들어 실수에서 정의된 두 함수 $f(x)=2x$, $g(x)=x+1$에 대하여

$(g\circ f)(x)=2x+1,\qquad (f\circ g)(x)=2x+2$

이다. 두 배로 만든 뒤 $1$을 더하는 것과, $1$을 더한 뒤 두 배로 만드는 것은 결과가 다르다. 이처럼 함수의 합성에는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 반면 합성이 정의되는 세 함수에 대해서는

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

라는 결합법칙이 성립한다. 함수들을 적용하는 순서를 유지하면 어느 두 함수를 먼저 묶어도 결과가 같다.

각 원소를 자기 자신에 대응시키는 항등 함수 $\operatorname {id} _{X}:X\to X$는 합성에서 특별한 역할을 한다. $f:X\to Y$에 대하여

$f\circ \operatorname {id} _{X}=f,\qquad \operatorname {id} _{Y}\circ f=f$

이다. 항등 함수를 앞이나 뒤에 적용해도 원래 함수는 달라지지 않는다.

역함수

 이 부분의 본문은 역함수입니다.

함숫값에서 원래의 입력을 하나로 되찾을 수 있을 때에는 대응의 방향을 뒤집은 함수를 생각할 수 있다. 전단사 함수 $f:X\to Y$에 대해 각 $y\in Y$를 $f(x)=y$인 유일한 $x\in X$에 대응시키는 함수가 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이다. 정의에 따라

$f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X},\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}$

가 성립한다. 함수 $f:X\to Y$에 이러한 양쪽 역함수가 존재할 필요충분조건은 $f$가 전단사라는 것이다.

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$를 $f(x)=2x+1$로 정의하면 $y=2x+1$에서 $x=(y-1)/2$를 얻으므로 역함수는 $f^{-1}(y)=(y-1)/2$이다. 여기서 $f^{-1}$의 $-1$은 함수값의 역수를 뜻하지 않는다. 이 예에서 $f^{-1}(3)=1$이지만 $1/f(3)=1/7$이다.

제곱근 함수는 정의역과 공역을 정하는 일이 왜 필요한지 보여 준다. $x^{2}$를 실수 전체에서 생각하면 $2$와 $-2$가 모두 $4$로 가므로, $4$에서 되돌아갈 입력을 하나로 고를 수 없다. 그러나 $f:[0,\infty )\to [0,\infty )$, $f(x)=x^{2}$로 정하면 역함수가 존재하며 $f^{-1}(y)={\sqrt {y}}$이다. 역함수는 지정한 정의역과 공역 사이에서 대응을 되돌리는 것이므로, 식만 보고 존재 여부를 판단해서는 안 된다.

제한과 확장

 이 부분의 본문은 제한 (수학)입니다.

함수 $f:X\to Y$를 정의역의 일부 $A\subseteq X$에서만 사용하는 것을 $A$로의 제한이라고 한다. 제한한 함수는 $f|_{A}:A\to Y$로 쓰며 $x\in A$에서 $f|_{A}(x)=f(x)$이다. 함숫값을 구하는 방법은 유지하고 입력의 범위만 줄이는 것이다. 반대로 $F:Z\to Y$가 $X\subseteq Z$에서 $F|_{X}=f$를 만족하면 $F$를 $f$의 확장이라고 한다.

예를 들어 $f(x)=(x^{2}-1)/(x-1)$를 $\mathbb {R} \setminus \{1\}$에서 정의하고, $F(x)=x+1$을 실수 전체에서 정의하면 $F$는 $f$의 확장이다. 원래 함수가 정의된 모든 점에서는 값이 같고, 빠져 있던 $x=1$에서도 값을 정했기 때문이다. 이 확장은 $x=1$에서도 연속이다. 그 점의 값을 $2$가 아닌 값으로 정한 다른 확장도 가능하지만, 그런 확장은 연속이 아니다.

서로 다른 부분집합에서 정의된 함수들을 합쳐 하나의 함수를 정할 수도 있다. 공역이 같은 $f:A\to Y$와 $g:B\to Y$에 대해, 겹치는 부분 $A\cap B$에서 $f(x)=g(x)$이면 두 함수의 값을 그대로 사용하는 함수 $h:A\cup B\to Y$가 유일하게 정해진다. 겹치는 부분에서 값이 다르면 하나의 입력에 두 값을 주게 되므로 이렇게 합칠 수 없다. 조각별 정의도 각 부분에서 정한 값들이 이러한 조건을 만족하도록 하여 하나의 함수를 만드는 방법이다.

상과 원상

 이 부분의 본문은 상 (수학) 및 원상 (수학)입니다.

함수로 원소 하나뿐 아니라 집합 전체가 어디로 옮겨지는지도 살펴볼 수 있다. $f:X\to Y$와 $A\subseteq X$에 대하여 $A$의 상은

$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}$

이다. 반대로 $B\subseteq Y$로 가는 입력을 모두 모은 집합

$f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$

를 $B$의 원상 또는 역상이라고 한다. 특히 정의역 전체의 상 $f(X)$는 치역이다.

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $f(x)=x^{2}$에서는 $f(\{-2,1,2\})=\{1,4\}$이고 $f^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}$이다. $f$는 역함수가 없지만 집합 $\{4\}$의 원상은 문제없이 정의된다. 역함수가 출력 하나에 입력 하나를 대응시키는 데 비해, 원상은 해당하는 입력을 모두 모은 집합이기 때문이다. 예를 들어 $f^{-1}(\{-1\})=\varnothing$처럼 원상이 공집합일 수도 있다.

함숫값의 연산

같은 집합 $X$에서 실수로 가는 두 함수 $f,g$에 대해서는 각 입력에서 얻은 함숫값끼리 더하거나 곱하여 새로운 함수를 정의할 수 있다.

$(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (fg)(x)=f(x)g(x).$

이를 점별 연산이라고 한다. 실수 $c$에 대한 상수배도 $(cf)(x)=cf(x)$로 정한다. 나눗셈은 $g(x)\neq 0$인 입력에서만 가능하므로 $f/g$의 정의역은 그 조건을 만족하는 원소들로 제한한다.

함수의 곱은 합성과 구별된다. 실수 전체에서 $f(x)=x+1$, $g(x)=x^{2}$이면 $(fg)(x)=(x+1)x^{2}$이지만 $(g\circ f)(x)=(x+1)^{2}$이다. 곱은 같은 입력에서 얻은 두 값을 곱하고, 합성은 한 함수의 출력을 다음 함수의 입력으로 사용한다.

여러 종류의 함수와 쓰임

기본적인 실함수

 초등함수 문서를 참고하십시오.

수를 입력으로 받아 수를 출력하는 함수 가운데에는 이름과 표기법이 정해져 널리 쓰이는 것들이 있다. 다음은 실수 범위에서 자주 다루는 예이다. 표의 정의역은 별도의 제한을 두지 않았을 때 식이 정의되는 실수 전체로 삼았다.

자주 쓰이는 실함수의 예

종류	예	정의역과 특징
다항함수	$x^{2}+2x+1$	모든 실수에서 정의된다. 상수 함수·일차함수·이차함수가 여기에 포함된다.
유리함수	${\dfrac {1}{x-1}}$	다항식의 비로 나타낸다. 분모가 $0$이 되는 $x=1$은 제외한다.
무리함수	${\sqrt {x}}$	이 예의 정의역은 $[0,\infty )$이며, 음이 아닌 제곱근을 함숫값으로 삼는다.
지수함수	$2^{x}$	모든 실수에서 정의되며 함숫값은 양수이다.
로그함수	$\log _{2}x$	양의 실수에서 정의되며, $2^{y}=x$를 만족하는 실수 $y$를 대응시킨다.
삼각함수	$\sin x$	이 예는 모든 실수에서 정의되고, 값이 $2\pi$마다 반복된다.

이러한 함수들은 합성과 사칙연산을 통해 더 복잡한 함수를 나타내는 데 쓰인다. 예를 들어 $\sin(x^{2})$는 제곱 함수와 사인 함수를 합성한 것이다. 다만 익숙한 함수들을 유한 번 조합하는 것만으로 모든 함수를 표현할 수 있는 것은 아니다. 특수 함수 가운데에는 적분이나 급수 등으로 정의하여 별도로 연구하는 함수들이 있다.

함수는 수학적 모형에서 관찰하거나 예측하려는 양의 관계를 나타낸다. 일정한 속력 $v$로 움직이는 물체가 시간 $t$ 동안 이동한 거리를 $d(t)=vt$로 표현하는 것이 간단한 예이다. 실제 현상을 함수로 나타낼 때에는 어떤 값을 입력으로 삼을지, 어떤 조건을 일정하게 둘지, 식을 어느 범위에서 적용할지를 함께 정한다. 거리·온도·비용처럼 서로 다른 양도 함수의 언어로 기술할 수 있다.

수열·다변수 함수·벡터값 함수

 수열, 다변수 함수 및 벡터 함수 문서를 참고하십시오.

수열은 항의 번호에 그 항의 값을 대응시키는 함수로 볼 수 있다. 예를 들어 수열 $1,4,9,16,\ldots$는 양의 정수 $n$을 $n^{2}$에 대응시키는 함수이다. 보통 함숫값을 $a(n)$ 대신 $a_{n}$으로 쓴다. 수열의 항이 실수라면 양의 정수에서 실수로 가는 함수가 되며, 항을 벡터나 다른 수학적 대상으로 삼을 수도 있다.

다변수 함수에서는 여러 값을 묶어 하나의 입력으로 사용한다. 예를 들어 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$는 두 실수의 순서쌍 $(x,y)$에 하나의 실수를 대응시키므로 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$인 함수이다. 넓이를 가로와 세로 길이의 함수로 나타내거나, 한 지점의 온도를 위치 좌표의 함수로 나타낼 때 이런 표기가 쓰인다. 변수는 여러 개이지만 순서쌍이나 순서삼중항 전체를 하나의 입력으로 보면 함수의 정의는 그대로 적용된다.

출력이 수 하나가 아니라 벡터인 함수는 벡터값 함수라고 한다. 시간 $t$에 물체의 평면상 위치 $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$를 대응시키는 것이 그 예이다. $x(t)$와 $y(t)$는 각각의 좌표를 정하는 성분함수이다. 예를 들어 $\mathbf {r} (t)=(\cos t,\sin t)$는 단위원 위의 위치를 나타낸다. 원 전체가 하나의 $y=f(x)$ 그래프가 될 수 없더라도, 이처럼 시간을 입력으로 하는 벡터값 함수의 경로로는 나타낼 수 있다.

복소수를 입력이나 출력으로 삼을 수도 있다. 예를 들어 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$, $f(z)=z^{2}$는 복소수 하나에 복소수 하나를 대응시킨다. 이러한 함수의 미분과 적분을 연구하는 분야가 복소해석학이다. 정의역과 공역에 따라 사용할 수 있는 연산이나 살펴보는 성질은 달라지지만, 각 입력에 출력 하나를 정한다는 기본 조건은 달라지지 않는다.

함수공간

개별 함수뿐 아니라 함수들의 집합을 하나의 수학적 대상으로 연구하기도 한다. 집합 $X$에서 $Y$로 가는 모든 함수의 집합은 흔히 $Y^{X}$로 나타낸다. 특히 $X$에서 실수로 가는 함수들은 점별 덧셈과 상수배에 관하여 벡터 공간을 이룬다. 구간 $[0,1]$에서 연속인 실함수들을 모은 집합도 벡터 공간의 예이다. 여기서는 숫자나 화살표 대신 함수 하나하나가 벡터의 역할을 한다.

함수를 입력으로 받는 함수도 정의할 수 있다. 예를 들어 $[0,1]$에서 연속인 실함수 $f$에

$I(f)=\int _{0}^{1}f(x)\,dx$

라는 실수를 대응시키면 함수들을 정의역으로 하는 함수가 된다. 이처럼 함수공간의 원소에 수 하나를 대응시키는 함수를 범함수라고 한다. 함수해석학에서는 이러한 함수공간과 그 사이의 연산자를 연구한다.

컴퓨터과학에서의 함수

 계산 가능 함수 및 함수형 프로그래밍 문서를 참고하십시오.

프로그래밍에서 함수라 부르는 절차는 입력을 받아 값을 반환하는 것 외에 프로그램의 상태를 바꾸거나 화면에 내용을 출력할 수도 있다. 따라서 같은 인수로 호출하더라도 외부 상태에 따라 결과가 달라질 수 있다. 반면 순수 함수(영어: pure function)는 반환값이 입력에만 의존하고, 외부 상태 변경과 같은 부수 효과를 일으키지 않는다. 입력과 출력의 대응을 중심으로 프로그램을 구성하는 함수형 프로그래밍에서 중요하게 다루는 개념이다.

수학적 함수가 정의되어 있다고 해서 그 값을 구하는 알고리즘이 반드시 존재하는 것은 아니다. 주어진 프로그램이 주어진 입력에서 실행을 마치는지에 따라 $1$ 또는 $0$을 대응시키는 함수는 수학적으로 정의할 수 있다. 그러나 모든 프로그램과 입력에 대해 이 값을 계산하는 알고리즘은 존재하지 않는다. 이것이 정지 문제의 결정 불가능성이다. 계산 가능성 이론은 이처럼 어떤 함수를 알고리즘으로 계산할 수 있는지를 연구한다.

일반화와 관련 개념

부분 함수

 이 부분의 본문은 부분 함수입니다.

부분 함수는 집합 $X$의 일부 입력에서 값이 정해지지 않는 경우도 허용한다. 값이 정해지는 입력에서는 출력이 하나여야 한다는 조건은 유지된다. 예를 들어 실수 전체를 입력 후보로 생각하면 $x\mapsto 1/x$는 $x=0$에서 값이 없는 부분 함수이다. 그러나 정의역을 처음부터 $\mathbb {R} \setminus \{0\}$으로 정하면 모든 입력에 값이 있는 보통의 함수가 된다. 부분 함수인지 여부는 어느 집합 전체를 입력 범위로 생각하는지와 관련된다.

계산 가능성 이론에서는 어떤 입력에서 계산이 끝나지 않아 결과를 내놓지 못하는 절차를 다룰 때 부분 함수가 쓰인다. 이에 비해 지정한 입력 집합의 모든 원소에서 값이 정해지는 함수는 부분 함수와 구별하여 전함수라고 한다.

다가 함수와 집합값 함수

 이 부분의 본문은 다가 함수입니다.

입력 하나에 여러 값을 대응시키는 관계를 다가 함수라고 부르기도 한다. 예를 들어 방정식 $y^{2}=x$의 실수해 전체를 생각하면, 양수 $x$에 ${\sqrt {x}}$와 $-{\sqrt {x}}$가 모두 대응한다. 이러한 의미의 다가 함수는 각 입력에 값 하나만 정하는 함수의 정의와 구별된다. 특히 기호 ${\sqrt {x}}$ 자체는 음이 아닌 제곱근 하나를 나타내며, 두 값을 동시에 뜻하지 않는다.

여러 값을 하나의 집합으로 묶으면 보통의 함수로 다룰 수 있다. 예를 들어 $F(4)=\{-2,2\}$라고 정할 때 출력은 서로 다른 두 실수가 아니라 그 둘을 원소로 갖는 집합 하나이다. 이를 집합값 함수라고 하며, 값들이 속하는 집합을 $Y$라고 하면 그 멱집합 ${\mathcal {P}}(Y)$를 공역으로 삼을 수 있다. 각 입력에 적어도 하나의 값이 있어야 한다는 조건을 추가하려면 공역에서 공집합을 제외한다.

역사와 용어

함수 개념의 발전

함수 개념은 곡선과 변화하는 양을 연구하는 과정에서 발전했다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 1673년에 곡선과 관련된 선분의 역할을 설명하면서 ‘함수’에 해당하는 라틴어를 사용했다. 이후 요한 베르누이와 레온하르트 오일러의 연구에서 함수는 변수와 상수로 이루어진 양이나 식을 가리키는 개념으로 자리 잡았다. 오일러는 1748년 《무한 해석 입문》에서 함수를 변수와 상수로 이루어진 해석적 표현으로 설명하고, 이를 해석학의 중심 개념으로 삼았다.

진동하는 현의 운동을 연구하면서는 현의 초기 모양을 하나의 해석적 표현으로 제한해도 되는지를 두고 논쟁이 일어났다. 오일러는 1755년 《미분학 입문》에서 다른 양에 의존하여 결정되는 양이라는 더 넓은 함수 개념을 제시했다. 이후 조제프 푸리에의 연구와 푸리에 급수의 발전은 함수 자체와 함수를 나타내는 식을 구별하는 데 기여했다. 이 시기의 ‘해석적 표현’이나 ‘연속’이라는 용어는 오늘날의 뜻과 반드시 일치하지 않으므로, 당시의 정의를 현대의 정의와 그대로 같다고 보기는 어렵다.

페터 구스타프 르죈 디리클레는 1837년 연속함수를 설명하면서, 구간 전체에서 하나의 법칙이나 계산식으로 주어질 필요는 없다고 밝혔다. 19세기 후반에는 수 사이의 관계를 넘어 일반적인 집합의 원소를 대응시키는 관점이 발전했다. 리하르트 데데킨트는 1888년 저술에서 집합의 각 원소에 특정한 대상을 대응시키는 사상을 정의하고, 그 상과 합성을 다루었다.

용어

한자어 ‘함수’(函數)는 이선란과 알렉산더 와일리(Alexander Wylie)가 1859년에 번역한 수학서 《대미적습급》(代微積拾級)에서 사용되었다. 이 책은 한 변수의 식에 다른 변수가 포함되는 관계를 설명하며 이 용어를 썼다.

같이 보기

• 관계 (수학)
• 방정식

참고 문헌

• 도종훈; 김대욱; 신기철; 최선미 (2025). 〈2. 공통수학2·기본수학2〉. 서원대학교 연구수행. 《고등학교 수학 용어 안내자료 개발》 별책 1. 《고등학교 수학 용어 안내자료》. 한국과학창의재단.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크) — 원문 PDF. 함수 관련 설명은 인쇄 136–177쪽에 있다.
• Richard Hammack (2018). 〈12. Functions; 14. Cardinality of Sets〉 3판 (영어). 《Book of Proof》 (PDF). Richmond, Virginia: Richard Hammack. 
• Sheldon Axler (2024). 〈1. Vector Spaces; 3. Linear Maps〉 4판 (영어). 《Linear Algebra Done Right》 (PDF). Springer. 

외부 링크

• 《College Algebra 2e》 제3장: Functions — 함수의 표기·그래프·합성·역함수를 설명하는 공개 교재 (영어)