提示 ：此条目的主题不是
部分决定系数 (Coefficient of partial determination)。
在概率论 和统计学 中，偏相关 （：随机变量 在移除了其他控制变量（Confounding variables）的影响后的相关 程度。
在确定两个感兴趣变量之间的数值关系时，如果存在与这两个变量都相关的混杂变量 ，直接计算它们的相关系数 可能会产生误导性结果 （伪相关）。通过计算偏相关系数控制混杂变量，可以避免这种误导性信息。这正是多元线性回归 中包含其他右侧变量的动机；虽然多元回归给出了效应值 的无偏 结果，但它并不直接给出一个数值来度量两个感兴趣变量之间关系的强度。
例如，给定关于个人消费、收入和财富的经济数据，如果希望分析消费与收入之间的关系，而在计算相关系数时未能控制“财富”这一变量，可能会得到误导性的结果。因为收入可能与财富相关，而财富又与消费相关；直接测量的消费与收入之间的相关性可能会被这些其他相关性所“污染”。使用偏相关可以避免这个问题。
与普通的相关系数一样，偏相关系数的取值范围也是从 -1 到 1。
值 -1 表示在控制某些变量后，存在完全的负相关（即一个变量值越高，另一个变量值越低）；
值 1 表示完全的正线性关系；
值 0 表示没有线性关系。 如果随机变量的联合分布 是多元正态分布 、其他椭圆分布 、多元超几何分布、多元负超几何分布、多项分布或狄利克雷分布，则偏相关与条件相关 一致，但一般情况下两者并不相同。[ 1]
形式上，给定一组
n
{\displaystyle n}
Z
=
{
Z
1
,
Z
2
,
…
,
Z
n
}
{\displaystyle \mathbf {Z} =\{Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
ρ
X
Y
⋅
Z
{\displaystyle \rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }}
X
{\displaystyle X}
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
线性回归 的残差
e
X
{\displaystyle e_{X}}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
e
Y
{\displaystyle e_{Y}}
相关系数 。
一阶偏相关（即
n
=
1
{\displaystyle n=1}
[ 2]
计算样本偏相关的一种简单方法是求解两个相关的线性回归 问题，并计算残差之间的相关性 。
设
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
n
{\displaystyle n}
x
i
,
y
i
,
z
i
{\displaystyle x_{i},y_{i},\mathbf {z} _{i}}
X
,
Y
,
Z
{\displaystyle X,Y,\mathbf {Z} }
联合分布 中抽取的
N
{\displaystyle N}
独立同分布 （i.i.d.）观测值中的第
i
{\displaystyle i}
z
i
{\displaystyle \mathbf {z} _{i}}
求解线性回归问题相当于找到
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
w
X
∗
{\displaystyle \mathbf {w} _{X}^{*}}
w
Y
∗
{\displaystyle \mathbf {w} _{Y}^{*}}
w
X
∗
=
arg
min
w
{
∑
i
=
1
N
(
x
i
−
⟨
w
,
z
i
⟩
)
2
}
{\displaystyle \mathbf {w} _{X}^{*}=\arg \min _{\mathbf {w} }\left\{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\langle \mathbf {w} ,\mathbf {z} _{i}\rangle )^{2}\right\}}
w
Y
∗
=
arg
min
w
{
∑
i
=
1
N
(
y
i
−
⟨
w
,
z
i
⟩
)
2
}
{\displaystyle \mathbf {w} _{Y}^{*}=\arg \min _{\mathbf {w} }\left\{\sum _{i=1}^{N}(y_{i}-\langle \mathbf {w} ,\mathbf {z} _{i}\rangle )^{2}\right\}}
其中
N
{\displaystyle N}
⟨
w
,
z
i
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {w} ,\mathbf {z} _{i}\rangle }
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
z
i
{\displaystyle \mathbf {z} _{i}}
标量积 。
残差为：
e
X
,
i
=
x
i
−
⟨
w
X
∗
,
z
i
⟩
{\displaystyle e_{X,i}=x_{i}-\langle \mathbf {w} _{X}^{*},\mathbf {z} _{i}\rangle }
e
Y
,
i
=
y
i
−
⟨
w
Y
∗
,
z
i
⟩
{\displaystyle e_{Y,i}=y_{i}-\langle \mathbf {w} _{Y}^{*},\mathbf {z} _{i}\rangle }
样本偏相关系数即为这些新生成的残差 值之间的样本相关系数 ：
ρ
^
X
Y
⋅
Z
=
N
∑
i
=
1
N
e
X
,
i
e
Y
,
i
−
∑
i
=
1
N
e
X
,
i
∑
i
=
1
N
e
Y
,
i
N
∑
i
=
1
N
e
X
,
i
2
−
(
∑
i
=
1
N
e
X
,
i
)
2
N
∑
i
=
1
N
e
Y
,
i
2
−
(
∑
i
=
1
N
e
Y
,
i
)
2
=
N
∑
i
=
1
N
e
X
,
i
e
Y
,
i
N
∑
i
=
1
N
e
X
,
i
2
N
∑
i
=
1
N
e
Y
,
i
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }&={\frac {N\sum _{i=1}^{N}e_{X,i}e_{Y,i}-\sum _{i=1}^{N}e_{X,i}\sum _{i=1}^{N}e_{Y,i}}{{\sqrt {N\sum _{i=1}^{N}e_{X,i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{N}e_{X,i}\right)^{2}}}~{\sqrt {N\sum _{i=1}^{N}e_{Y,i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{N}e_{Y,i}\right)^{2}}}}}\\&={\frac {N\sum _{i=1}^{N}e_{X,i}e_{Y,i}}{{\sqrt {N\sum _{i=1}^{N}e_{X,i}^{2}}}~{\sqrt {N\sum _{i=1}^{N}e_{Y,i}^{2}}}}}.\end{aligned}}}
在第一个表达式中，减号后的三项都等于 0，因为它们包含普通最小二乘法 回归的残差和（必定为 0）。
考虑三个变量
X
,
Y
,
Z
{\displaystyle X,Y,Z}
X
Y
Z
2
1
0
4
2
0
15
3
1
20
4
1
计算变量
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
皮尔逊相关系数 约为 0.970；而使用上述公式计算
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
R语言 进行的计算：
> x <- c ( 2 , 4 , 15 , 20 )
> y <- c ( 1 , 2 , 3 , 4 )
> z <- c ( 0 , 0 , 1 , 1 )
# 将 x 对 z 进行回归并计算残差
> res_x <- lm ( x ~ z ) $ residuals
# 将 y 对 z 进行回归并计算残差
> res_y <- lm ( y ~ z ) $ residuals
# 计算残差的相关性
> cor ( res_x , res_y )
# [1] 0.919145
# 显示这与 x 和 y 之间的直接相关性不同
> cor ( x , y )
# [1] 0.9695016
求解线性回归问题在计算上可能非常昂贵。实际上，
n
{\displaystyle n}
|
Z
|
=
n
{\displaystyle |\mathbf {Z} |=n}
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
ρ
X
Y
⋅
∅
{\displaystyle \rho _{XY\cdot \varnothing }}
相关系数
ρ
X
Y
{\displaystyle \rho _{XY}}
对于任意
Z
0
∈
Z
{\displaystyle Z_{0}\in \mathbf {Z} }
[ 3]
ρ
X
Y
⋅
Z
=
ρ
X
Y
⋅
Z
∖
{
Z
0
}
−
ρ
X
Z
0
⋅
Z
∖
{
Z
0
}
ρ
Z
0
Y
⋅
Z
∖
{
Z
0
}
1
−
ρ
X
Z
0
⋅
Z
∖
{
Z
0
}
2
1
−
ρ
Z
0
Y
⋅
Z
∖
{
Z
0
}
2
{\displaystyle \rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }={\frac {\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}}}}
如果单纯地将此计算实现为递归算法 ，会产生指数级的时间复杂度 。然而，由于该计算具有重叠子问题 性质，使用动态规划 或简单地缓存递归调用的结果可以产生
O
(
n
3
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}
特别地，当
Z
{\displaystyle Z}
ρ
X
Y
⋅
Z
=
ρ
X
Y
−
ρ
X
Z
ρ
Z
Y
1
−
ρ
X
Z
2
1
−
ρ
Z
Y
2
{\displaystyle \rho _{XY\cdot Z}={\frac {\rho _{XY}-\rho _{XZ}\rho _{ZY}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{ZY}^{2}}}}}}
偏相关也可以用联合精度矩阵 （Precision matrix）来表示。考虑一组随机变量
V
=
{
X
1
,
…
,
X
n
}
{\displaystyle \mathbf {V} =\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}
V
∖
{
X
i
,
X
j
}
{\displaystyle \mathbf {V} \setminus \{X_{i},X_{j}\}}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
X
j
{\displaystyle X_{j}}
假设（联合/完整）协方差矩阵
Σ
=
(
σ
i
j
)
{\displaystyle \Sigma =(\sigma _{ij})}
正定矩阵 ，因此是可逆矩阵 。定义精度矩阵为
Ω
=
(
p
i
j
)
=
Σ
−
1
{\displaystyle \Omega =(p_{ij})=\Sigma ^{-1}}
ρ
X
i
X
j
⋅
V
∖
{
X
i
,
X
j
}
=
−
p
i
j
p
i
i
p
j
j
{\displaystyle \rho _{X_{i}X_{j}\cdot \mathbf {V} \setminus \{X_{i},X_{j}\}}=-{\frac {p_{ij}}{\sqrt {p_{ii}p_{jj}}}}}
1
计算此式需要求协方差矩阵
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Σ
−
1
{\displaystyle \Sigma ^{-1}}
O
(
n
3
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}
V
{\displaystyle \mathbf {V} }
偏相关的几何解释（以
N
=
3
{\displaystyle N=3}
设三个变量
X
,
Y
,
Z
{\displaystyle X,Y,Z}
Z
{\displaystyle Z}
n
{\displaystyle n}
V
{\displaystyle \mathbf {V} }
v
i
,
1
≤
i
≤
N
{\displaystyle \mathbf {v} _{i},1\leq i\leq N}
V
{\displaystyle \mathbf {V} }
N
{\displaystyle N}
n
{\displaystyle n}
独立同分布 观测值。
考虑由观测值形成的
N
{\displaystyle N}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
z
{\displaystyle \mathbf {z} }
X
{\displaystyle X}
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
e
X
,
i
{\displaystyle e_{X,i}}
N
{\displaystyle N}
e
X
{\displaystyle \mathbf {e} _{X}}
r
X
{\displaystyle \mathbf {r} _{X}}
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
z
{\displaystyle \mathbf {z} }
标量积 为零。这意味着残差向量位于垂直于
z
{\displaystyle \mathbf {z} }
(
N
−
1
)
{\displaystyle (N-1)}
超平面
S
z
{\displaystyle S_{\mathbf {z} }}
同理也适用于
Y
{\displaystyle Y}
e
Y
{\displaystyle \mathbf {e} _{Y}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
z
{\displaystyle \mathbf {z} }
投影
e
X
{\displaystyle \mathbf {e} _{X}}
e
Y
{\displaystyle \mathbf {e} _{Y}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
余弦 。[ 4] : ch. 7
假设所有涉及的变量都是多元高斯分布 的，偏相关
ρ
X
Y
⋅
Z
{\displaystyle \rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }}
X
{\displaystyle X}
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
Y
{\displaystyle Y}
条件独立 。[ 1]
为了检验 样本偏相关
ρ
^
X
Y
⋅
Z
{\displaystyle {\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }}
费希尔变换 （Fisher's z-transform）：
z
(
ρ
^
X
Y
⋅
Z
)
=
1
2
ln
(
1
+
ρ
^
X
Y
⋅
Z
1
−
ρ
^
X
Y
⋅
Z
)
{\displaystyle z({\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} })={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+{\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }}{1-{\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }}}\right)}
零假设 是
H
0
:
ρ
X
Y
⋅
Z
=
0
{\displaystyle H_{0}:\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }=0}
H
A
:
ρ
X
Y
⋅
Z
≠
0
{\displaystyle H_{A}:\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }\neq 0}
H
0
{\displaystyle H_{0}}
N
−
|
Z
|
−
3
⋅
|
z
(
ρ
^
X
Y
⋅
Z
)
|
>
Φ
−
1
(
1
−
α
/
2
)
{\displaystyle {\sqrt {N-|\mathbf {Z} |-3}}\cdot |z({\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} })|>\Phi ^{-1}(1-\alpha /2)}
其中
Φ
{\displaystyle \Phi }
均值 和单位标准差 的高斯分布 的累积分布函数 ，
α
{\displaystyle \alpha }
显著性水平 ，
N
{\displaystyle N}
样本大小 。
半偏相关 （Semipartial correlation，或 part correlation）统计量与偏相关统计量类似；两者都比较两个变量在控制某些因素后的变异。然而，计算半偏相关时，第三个变量仅针对
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
[ 5]
Z
{\displaystyle Z}
半偏相关可以被视为更具有实际相关性，因为它相对于因变量（响应变量）的总变异进行了缩放。相反，它在理论上的用处较小，因为它对自变量的唯一贡献的作用不那么精确。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
Z
{\displaystyle Z}
e
x
{\displaystyle e_{x}}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
e
x
{\displaystyle e_{x}}
Z
{\displaystyle Z}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
e
y
{\displaystyle e_{y}}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
e
x
{\displaystyle e_{x}}
e
y
{\displaystyle e_{y}}
在时间序列 分析中，时间序列的偏自相关函数
h
{\displaystyle h}
φ
(
h
)
=
ρ
X
0
X
h
⋅
{
X
1
,
…
,
X
h
−
1
}
{\displaystyle \varphi (h)=\rho _{X_{0}X_{h}\,\cdot \,\{X_{1},\,\dots \,,X_{h-1}\}}}
该函数用于确定自回归 （AR）过程的适当滞后长度。
当样本量小于变量数量（即高维数据设置）时，估计偏相关具有挑战性。在这种情况下，样本协方差
Σ
^
{\displaystyle {\hat {\Sigma }}}
病态 的，求其逆矩阵
Ω
^
{\displaystyle {\hat {\Omega }}}
收缩估计 （Shrinkage estimation）方法可以改善
Σ
^
{\displaystyle {\hat {\Sigma }}}
Ω
^
{\displaystyle {\hat {\Omega }}}
[ 6]
Σ
^
[
λ
]
=
λ
T
+
(
1
−
λ
)
Σ
{\displaystyle {\hat {\Sigma }}^{[\lambda ]}=\lambda T+(1-\lambda )\Sigma }
其中
Σ
^
{\displaystyle {\hat {\Sigma }}}
T
{\displaystyle T}
λ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \lambda \in (0,1)}
Ledoit-Wolf 收缩下的偏相关估计为：[ 7]
P
^
i
j
[
λ
]
=
Ω
^
i
j
[
λ
]
Ω
^
i
i
[
λ
]
Ω
^
j
j
[
λ
]
{\displaystyle {\hat {P}}_{ij}^{[\lambda ]}={\frac {{\hat {\Omega }}_{ij}^{[\lambda ]}}{\sqrt {{\hat {\Omega }}_{ii}^{[\lambda ]}{\hat {\Omega }}_{jj}^{[\lambda ]}}}}}
其中
Ω
^
i
j
[
λ
]
{\displaystyle {\hat {\Omega }}_{ij}^{[\lambda ]}}
Σ
^
i
j
[
λ
]
{\displaystyle {\hat {\Sigma }}_{ij}^{[\lambda ]}}
^ 1.0 1.1 Baba, Kunihiro; Ritei Shibata; Masaaki Sibuya. Partial correlation and conditional correlation as measures of conditional independence. Australian and New Zealand Journal of Statistics . 2004, 46 (4): 657–664. S2CID 123130024 doi:10.1111/j.1467-842X.2004.00360.x ^ Guilford J. P., Fruchter B. Fundamental statistics in psychology and education . Tokyo: McGraw-Hill Kogakusha, LTD. 1973. ^ Kim, Seongho. ppcor: An R Package for a Fast Calculation to Semi-partial Correlation Coefficients . Communications for Statistical Applications and Methods. November 2015, 22 (6): 665–674. ISSN 2287-7843 PMC 4681537 PMID 26688802 doi:10.5351/CSAM.2015.22.6.665 ^ Rummel, R. J. Understanding Correlation . 1976 [2026-01-22 ] . （原始内容存档 于2025-01-10）. ^ Partial and Semipartial Correlation . （原始内容 存档于2014-02-06）. ^ Ledoit, O., & Wolf, M. (2004). "A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices". Journal of Multivariate Analysis , 88(2), 365–411. https://doi.org/10.1016/S0047-259X(03)00096-4
^ Schäfer, J., & Strimmer, K. (2005). "A shrinkage approach to large-scale covariance matrix estimation and implications for functional genomics". Statistical applications in genetics and molecular biology , 4(1). https://doi.org/10.2202/1544-6115.1175
提示：此条目的主题不是部分决定系数 (Coefficient of partial determination)。
![{\displaystyle {\hat {\Sigma }}^{[\lambda ]}=\lambda T+(1-\lambda )\Sigma }](/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cdf21b74b82cc1a80afe832596682c7dae0b3cd)
![{\displaystyle {\hat {P}}_{ij}^{[\lambda ]}={\frac {{\hat {\Omega }}_{ij}^{[\lambda ]}}{\sqrt {{\hat {\Omega }}_{ii}^{[\lambda ]}{\hat {\Omega }}_{jj}^{[\lambda ]}}}}}](/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfd8890f1cc9bc5847e58ef9ffde4e77e524c7a)
![{\displaystyle {\hat {\Omega }}_{ij}^{[\lambda ]}}](/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892dc2d99649b70633df61e377220103f4baa2aa)
![{\displaystyle {\hat {\Sigma }}_{ij}^{[\lambda ]}}](/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bc30690ed195e44fd5a623eb39be74271c9e7a)
. PMID 26688802. doi:10.5351/CSAM.2015.22.6.665.
