题解 P4868 【Preprefix sum】

· · 题解

来一篇树状数组的题解。

简化题意：

  1. 单点对a_i进行修改

  2. 求SS_i=\sum^i_{j=1}\sum^j_{k=1}a_k

分析：

展开SS_i，发现SS_i=\sum^i_{j=1}(i-j+1)\times a_j

可以维护两个树状数组，一个维护a_i，另一个维护b_i=(n-i+1)\times a_i。这样，我们要查询的SS_i即为\sum^i_{j=1}[(n-j+1)-(n-i)]\times a_j=\sum^i_{j=1}b_j-(n-i)\times\sum^i_{j=1}a_j

这里面的两个\sum都可以用树状数组O(\log n)求出。难度评级：普及+/提高

#include<cstdio>
#include<cctype>
#define LL long long

int Read()
{
    int x=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c))
    {
        c=getchar();
    }
    while(isdigit(c))
    {
        x=x*10+(c^48);
        c=getchar();
    }
    return x;
}

LL arr[100005];//存ai
LL BIT[2][100005];
//BIT[0]为ai的BIT，BIT[1]为bi=(n-i+1)ai的BIT
int n,m;

int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}

void Add(LL val,int pos,int idx)
{
    for(int i=pos;i<=n;i+=lowbit(i))
        BIT[idx][i]+=val;
}

void Modify(LL val,int pos)
{//对两个BIT分别操作
    Add(-arr[pos],pos,0);
    Add(-arr[pos]*(n-pos+1),pos,1);
    arr[pos]=val;
    Add(arr[pos],pos,0);
    Add(arr[pos]*(n-pos+1),pos,1);
}

LL Query(int pos)
{
    LL ans=0;//sigma(bi)
    for(int i=pos;i;i-=lowbit(i))
    {
        ans+=BIT[1][i];
    }
    LL red=0;//sigma(ai)
    for(int i=pos;i;i-=lowbit(i))
    {
        red+=BIT[0][i];
    }
    return ans-red*(n-pos);
}

int main()
{
    n=Read(),m=Read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        Add(arr[i]=Read(),i,0);
        Add(((LL)n-i+1)*arr[i],i,1);
    }
    char opt[10];
    int pos;
    while(m--)
    {
        scanf("%s",opt);
        if(opt[0]=='M')
        {
            pos=Read();
            Modify(Read(),pos);
        }
        else
        {
            printf("%lld\n",Query(Read()));
        }
    }
    return 0;
}