ラッセルのパラドックス

ラッセルのパラドックスとは

「自分自身を元として含まない集合」の全体からなる集まりが集合であると仮定すると矛盾が生じることをラッセルのパラドックスという.

実際, 「自分自身を元として含まない集合」の全体からなる集まり $${R}$$ が集合だと仮定する. このとき, 任意の集合 $${x}$$ について

$$
x \in R \iff x \notin x
$$

が成り立つ. 特に $${x = R}$$ とすれば

$$
R \in R \iff R \notin R
$$

を得る.

仮に $${R \in R}$$ ならば, 上の同値の $${\Rightarrow}$$ より $${R \notin R}$$ である. よって $${R \in R}$$ と $${R \notin R}$$ が同時に成り立ち, 矛盾である. したがって $${R\in R}$$ の否定 $${R \notin R}$$ が成り立つ. すると, 上の同値の $${\Leftarrow}$$ より $${R \in R}$$ である. よって $${R \in R}$$ と $${R \notin R}$$ が同時に成り立ち, 矛盾が生じる. ゆえに, $${R}$$ は集合ではない.

内包公理から生じる矛盾

集合の存在に関する次の主張を内包公理と呼ぶ: 任意の述語 $${P(x)}$$ に対して, ある集合 $${S}$$ が存在して, 任意の対象 $${x}$$ に対して

$$
x \in S \iff P(x)
$$

が成り立つ.

対象 $${x}$$ に関する述語 $${P(x)}$$ として

$$
x \notin x
$$

を考える. 内包公理を適用すると, ある集合 $${R}$$ が存在して, 任意の対象 $${x}$$ に対して

$$
x \in R \iff x \notin x
$$

が成り立つ. 特に $${x = R}$$ とすれば

$$
R \in R \iff R \notin R
$$

となり, ラッセルのパラドックスのときと同じ議論により矛盾が導かれる.

このような矛盾を解消するためには, 内包公理の適用を制限する必要がある.

分出公理

標準的な対応策の一つは, 内包公理より弱い分出公理を採用することである.

分出公理は, 与えられた集合の部分集合の存在に関する主張である: 与えられた集合 $${T}$$ と任意の述語 $${P(x)}$$ に対して, ある集合 $${S}$$ が存在して, 任意の対象 $${x}$$ に対して

$$
x \in S \iff x \in T \text{ かつ } P(x)
$$

が成り立つ.

$${A}$$ を集合とする. 分出公理により, ある集合 $${R_A}$$ が存在して, 任意の対象 $${x}$$ について

$$
x \in R_A \iff x\in A \text{ かつ } x \notin x
$$

が成り立つ. 特に $${x = R_A}$$ とすれば

$$
R_A \in R_A \iff R_A\in A \text{ かつ } R_A \notin R_A
$$

を得る. もし $${R_A\in A}$$ ならば

$$
R_A \in R_A \iff R_A \notin R_A
$$

となり, ラッセルのパラドックスのときと同じ議論により矛盾が導かれる. ゆえに,

$$
R_A \notin A
$$

でなければならない. しかも $${R_A}$$ は集合である. よって, 分出公理のもとで, 任意の集合 $${A}$$ に対し, $${A}$$ に属さない集合が必ず存在する.

特に, 全ての集合を元として含む集合 $${V}$$ が存在すると仮定すると, 上の議論を $${A = V}$$ に適用して $${R_V \notin V}$$ を得る. 一方で, $${R_V}$$ は集合であるから, $${R_V \in V}$$ である. これは矛盾である. したがって, 分出公理のもとでは, 全ての集合を元として含む集合は存在しない.