入試数学+5min_第028回(2017年一橋大(前期))~多項式の階差？

はじめに

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問題

第28回は2017一橋大前期の問題を扱います。
あたかも多項式の階差をとったような条件の与えられ方をしていますが，この条件をどう捉えてどう処理するのでしょうか。

ポイント

今回は整式 $${P(x)}$$ そのものではなく，$${P(x+1)-P(x)}$$ という隣り合う値の差が条件として与えられています。

まず注目したいのは，整式の階差をとると次数が一つ下がるという点です。右辺が $${1}$$ 次式であることから，$${P(x)}$$ の次数を読み取り，そこから未定係数で決定していきます。

また，補足では別の見方として$${x}$$ に整数を代入し，数列 $${\{P(n)\}}$$ の階差として考える方法にも触れます。すべての整数で成り立つことを必要条件として候補を絞り，最後に十分性を確認するという流れです。隣り合う差だという直感をどの様に解法に結び付けるか考えるとこの発想も自然だと思います。

整式の条件をそのまま計算するだけでなく，「階差」に見える部分をどう捉えどう処理するかが見どころの一題です。

キーワード

※解答解説PDFをなるべく時短で読めるためのものです

整式，多項式
階差
隣り合う値の差
$${P(x+1)-P(x)}$$
次数の読み取り
未定係数
階差数列
数列として考える
必要条件で絞る
十分性の確認
一橋大学

解答解説PDF

先ほどのキーワードをイメージしながら，PDFにて解答解説を確認してください。

むすび

整式の条件は，そのまま式変形するだけでなく，隣り合う値の差として見ることで一気に意味がはっきりすることがあります。

今回は $${P(x+1)-P(x)}$$ という形から，整式の階差として次数を読み取り未定係数で $${P(x)}$$ を決定しました。見た目は短い条件ですが，そこに次数が一つ下がるという構造が含まれているところがこの問題の面白さです。

また，補足では $${x}$$ に整数を代入し，数列 $${\{P(n)\}}$$ の階差として考える方法にも触れました。すべての整数で成り立つことを必要条件として候補を絞り，最後に実際に条件を満たすことを確認する流れです。

同じ条件でも，整式として見るのか数列として見るのかで解法の見え方が変わります。
差が与えられているという形に反応し，それを次数や階差の考え方につなげられるようにしておきたい一題です。

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