関数の縮小拡大

高校数学で関数の平行移動
f(x-a)
は習うが、拡大縮小はしないよね。

a倍拡大は
f(x/a)
です。

当たり前の話で、f(x/2)はx＝2でf(1)を実現するから結局x方向に2倍拡大したグラフになるよねという話。

これを使うと
∫f(ax)dx＝1/a× ∫f(x)dx
が導ける。積分範囲は適宜変更してます。

変数変換でもいいけど、左辺はf(x)のグラフが1/aに縮小されたものだから、面積は元の1/aと考えるといいかも。

リーマン積分の各短冊がx方向に1/aされるイメージ。

ガンマ分布の確率密度の積分が1になるという公式は縮小で導ける。
ガンマ関数をβ倍に縮小すると(定数除いて)ガンマ分布の確率密度になり、計算するとうまくいく。

結局ガンマ分布とは、階乗の一般化であるガンマ関数を、縮小拡大にも対応できるよう調整したグラフということになりそうだな。

確率でよく出る階乗をさらに二段階、一般化したというわけだ。