技術士第一次試験『R06基礎科目』３群：解析に関するもの｜全6問【解説】

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「問題文」

Ⅰ-3-1

　変数f、gと変数x、yの間には、

f = f(x,y)
g = g(x,y)

の関係があるとする。このとき、関数u(f,g)のf、gによる偏微分とx、yによる偏微分は次式によって関連付けられる。

ここで [J] はヤコビ行列と呼ばれ、ここでは2×2の行列となる。[J] として、最も適切なものはどれか。

「日本技術士会」HP

Ⅰ-3-2

　3次元空間に原点を始点とする2つのベクトルa、bがあり、bの大きさ|b|は1である。aの終点から、bが定める直線への垂線の足までの距離を表すベクトルとして、最も適切なものはどれか。なお、a・bはaとbの内積、a×bはaとbの外積を表す。

① a×b 　② (b・a)b－a 　③ b－a 　④ (b・a)b 　⑤ a×b－a

「日本技術士会」HP

Ⅰ-3-3

　下図は、ニュートン-ラフソン法（ニュートン法）を用いて非線形方程式 f(x)=0 の近似解を求めるためのフローチャートを示している。図中の（ア）及び（イ）に入れる処理の組合せとして、最も適切なものはどれか。

「日本技術士会」HP

Ⅰ-3-4

　下図に示す支持条件の異なる3種類の柱(a)、(b)、(c)を考える。すべての柱の材料・断面・長さは同じである。柱(a)、(b)、(c)が図に矢印で示す軸方向荷重を受けるときの座屈荷重をそれぞれPₐ、Pᵦ、Pcとしたとき、それらの大小関係として、最も適切なものはどれか。

① Pₐ > Pᵦ > Pc
② Pₐ > Pc > Pᵦ
③ Pᵦ > Pₐ > Pc
④ Pᵦ > Pc > Pₐ
⑤ Pc > Pₐ > Pᵦ

「日本技術士会」HP

Ⅰ-3-5

　下図に示すように、2つのばねと1つの質点からなるばね質点系a、b、cがある。図中のばねのばね定数はすべて同じkであり、また、図中の質点の質量はすべて同じmである。最小の固有振動数を有するばね質点系として、最も適切なものはどれか。

① aのみ 　② bのみ 　③ cのみ 　④ aとb 　⑤ bとc

「日本技術士会」HP

Ⅰ-3-6

　下図の回路において、各抵抗器の抵抗値は1Ωである。a、b間の合成抵抗値として、最も適切なものはどれか。なお、図中の「●」は接続点を示している。ただし、抵抗器以外の導線及び接続部分で付加的な抵抗は存在しないものとする。

① 4/3 Ω 　② 1 Ω　③ 2/3 Ω 　④ 1/3 Ω 　⑤ 1/6 Ω

「日本技術士会」HP

【解説】

Ⅰ-3-1

正答は④です。この問題は連鎖律（chain rule）とヤコビ行列（Jacobian matrix）についての問題です。

基本的な考え方

変数の関係を整理すると

• x, y → 独立変数（基本変数）

• f, g → x, yの関数として表される変数

• u → f, gの関数として表される変数

つまり、u は間接的に x, y の関数でもあります。

u = u{f(x,y), g(x,y)}

連鎖律の適用

uをxで偏微分する場合、fとgの両方がxに依存するので

同様に、yについても

行列形式での表現

これを行列形式で書くと

ヤコビ行列の正体

問題の式と比較すると

したがって、ヤコビ行列 [J] は

であることから、正答は④です。

覚え方のコツ

ヤコビ行列は「古い変数（x,y）から新しい変数（f,g）への変換」を表す行列です。各要素は「新しい変数を古い変数で偏微分したもの」になります。

• 1行目：f を x, y で偏微分

• 2行目：g を x, y で偏微分

この概念は、座標変換や多変数の微分において非常に重要な役割を果たします。

Ⅰ-3-2