技術士第一次試験『R04基礎科目』３群：解析に関するもの｜全6問【解説】

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「問題文」

Ⅰ-3-1

　x = xᵢ における導関数 df/dx の差分表現として、誤っているものはどれか。ただし、添え字 i は格子点を表すインデックス、格子幅を Δ とする。

① (fᵢ₊₁ ー fᵢ) / Δ

② (3fᵢ ー 4fᵢ₋₁ ＋ fᵢ₋₂) / (2Δ)

③ (fᵢ₊₁ － fᵢ₋₁)/(2Δ)

④ (fᵢ₊₁ － 2fᵢ ＋ fᵢ₋₁) / Δ²

⑤ (fᵢ － fᵢ₋₁) / Δ

「日本技術士会」HP

Ⅰ-3-2

　3次元直交座標系における任意のベクトル a = (a₁, a₂, a₃) と b = (b₁, b₂, b₃) に対して必ずしも成立しない式はどれか。ただし a · b 及び a × b はそれぞれベクトル a と b の内積及び外積を表す。

① (a × b) · a = 0

② a × b = b × a

③ a · b = b · a

④ b · (a × b) = 0

⑤ a × a = 0

「日本技術士会」HP

Ⅰ-3-3

　数値解析の精度を向上する方法として次のうち、最も不適切なものはどれか。

① 丸め誤差を小さくするために、計算機の浮動小数点演算を単精度から倍精度に変更した。

② 有限要素解析において、高次要素を用いて要素分割を行った。

③ 有限要素解析において、できるだけゆがんだ要素ができないように要素分割を行った。

④ Newton法などの反復計算において、反復回数が多いので収束判定条件を緩和した。

⑤ 有限要素解析において、解の変化が大きい領域の要素分割を細かくした。

「日本技術士会」HP

Ⅰ-3-4

「日本技術士会」HP

Ⅰ-3-5

　モータの出力軸に慣性モーメントＩ[kg・m²] の円盤が取り付けられている。この円盤を時間Ｔ[s] の間に角速度 ω₁ [rad/s] から ω₂ [rad/s]　 (ω₂ > ω₁) に一定の角加速度 (ω₂ － ω₁)  / Ｔ で増速するために必要なモータ出力軸のトルク τ [Nm] として適切なものはどれか。ただし、モータ出力軸の慣性モーメントは無視できるものとする。

① τ =Ｉ(ω₂ － ω₁)
② τ =Ｉ(ω₂ － ω₁)・Ｔ
③ τ =Ｉ(ω₂ － ω₁) / Ｔ
④ τ =Ｉ(ω₂² － ω₁²) / 2
⑤ τ =Ｉ(ω₂² － ω₁²)・Ｔ

「日本技術士会」HP

Ⅰ-3-6

　図(ａ) に示すような上下に張力 T で張られた糸の中央に物体が取り付けられた系の振動を考える。糸の長さは 2L、物体の質量は m である。図(ａ)の拡大図に示すように、物体の横方向の変位を x とし、そのときの糸の傾きを θ とすると、復元力は 2T sin θ と表され、運動方程式よりこの系の固有振動数 fₐ を求めることができる。同様に、図(b) に示すような上下に張力 T で張られた長さ 4L の糸の中央に質量 2m の物体が取り付けられた系があり、この系の固有振動数を fᵦ とする。fₐ と fᵦ の比として適切なものはどれか。ただし、どちらの系でも、糸の質量、及び物体の大きさは無視できるものとする。また、物体の鉛直方向の変位はなく、振動している際の張力変動は無視することができ、変位 x と傾き θ は微小なものとみなしてよい。

「日本技術士会」HP

【正答・解説】

Ⅰ-3-1

正答は④ですこの問題は数値微分に関する問題です。コンピュータで関数の導関数（微分）を計算する際に使われる手法について問われています。

基本的な考え方

導関数の定義は、 f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) - f(x)) / h

数値計算では、この極限を小さな有限の値 Δ で近似します。

各選択肢の解説

①と⑤：前進差分と後退差分

• ① (fᵢ₊₁ － fᵢ) / Δ：前進差分（forward difference）

• ⑤ (fᵢ － fᵢ₋₁) / Δ：後退差分（backward difference）

どちらも1次精度の近似で、導関数の近似として正しいです。

③：中心差分

• (fᵢ₊₁ － fᵢ₋₁) / (2Δ)：中心差分（central difference）

前後の点を使った2次精度の近似で、より精度が高い導関数の近似です。

②：高次の前進差分

• (3fᵢ － 4fᵢ₋₁ ＋ fᵢ₋₂) / (2Δ)

これは2次精度の前進差分公式で、導関数の近似として正しいです。

④が誤りの理由

• (fᵢ₊₁ － 2fᵢ ＋ fᵢ₋₁) / Δ²

この式は2階導関数（二次微分）の近似式です！

2階導関数 f''(x) の中心差分近似は： f''(x) ≈ (f(x+Δ) － 2f(x) ＋ f(x-Δ)) / Δ²

分母が Δ² になっているのがポイントです。
1階導関数なら分母は Δ、2階導関数なら分母は Δ² になります。

まとめ

問題は「1階導関数 df/dx の差分表現」を問うているのに、④だけが2階導関数の公式になっているため、これが誤りです。

数値微分では、求めたい導関数の階数と公式の分母の Δ の次数が一致する必要があります。

Ⅰ-3-2