《電気系・院試対策の良問》#2---電流とバネ

電磁気学より、バネ機構と力学的エネルギーを考える問題です。若干力学の知識も必要とする融合問題となっています。

〈目安：15分〉

解答

① $${B=μ_0H=μ_0\frac{N}{l}I=\frac{μ_0NI}{l}}$$

②
(i) 電流を流す前
$${B_1=\frac{μ_0NI}{l+δl}}$$より$${u_m1=\frac{1}{2}B_1H_1=\frac{μ_0N^2I^2}{2(l+δl)^2}}$$
$${U_1=u_m1S(l+δl)=\frac{μ_0N^2I^2S}{2(l+δl)^2}}$$

(ii) 電流を流した後
$${B_2=\frac{μ_0NI}{l}}$$より$${u_m2=\frac{1}{2}B_2H_2=\frac{μ_0N^2I^2}{2l^2}}$$
$${U_2=u_m2Sl=\frac{μ_0N^2I^2S}{2l}}$$

よって$${ΔU=U_2-U_1=\frac{μ_0N^2I^2S}{2}(\frac{1}{l}-\frac{1}{1+δl})=\frac{μ_0N^2I^2S}{2l}\frac{\frac{δl}{l}}{1+\frac{δl}{l}}}$$

③$${ΔU=\frac{μ_0N^2I^2S}{2l}\frac{\frac{δl}{l}}{1+\frac{δl}{l}}≒\frac{μ_0N^2I^2S}{2l}\frac{δl}{l}}$$
ここで$${\frac{δl}{l}<<1}$$より$${1+\frac{δl}{l}}$$とした

④エネルギー保存則より
$${\frac{μ_0N^2I^2S}{2l}\frac{δl}{l}＝mgδl↔︎I=\frac{l}{N}\sqrt{\frac{2mg}{μ_0S}}}$$