Wacław Sierpiński
[Header Image Credit] Sierpiński gasket - via Pinterest
Wacław Sierpiński (14 March 1882 - 21 October 1969) に関する話です。
（ほぼ日本語）
Wacław versus Václav
因みに Wacław は Polish で、Václav (Czech) は非常にありふれた名前。
例えば Václav Havel は、チェコの劇作家、チェコスロバキア大統領（1989年 ~ 1992年）、チェコ共和国初代大統領（1993年 ~ 2003年）。
クラシック音楽のファンであれば 1968年から20年以上にわたってチェコ・フィルハーモニー管弦楽団の首席指揮者を務めた Václav Neumann の名前は決して記憶から消えることはないでしょう。
"Wacław" is the Polish form of the name, while "Václav" is the Czech form. Both names share the same Slavic root, originally meaning "greater glory" or "more glory," and are derived from the Latinized name Wenceslaus.
因みに Ukrainian と Russian では Vyacheslav（ラテン表記）:
烏克蘭: В'ячеслав
露西亜(正しくは魯西亜、より正しくは 魔多 Mordor): Вячеслав
この slav/слав は
"Slava Ukraini!" (Слава Україні!)
"Geroyam Slava!" (Героям слава!)
で使われています。
Sierpiński gasket
Wacław Sierpiński に話を戻すと、Fractal に興味を持っている人なら Sierpiński gasket をご存知のはずです：
https://larryriddle.agnesscott.org/ifs/siertri/siertri.htm
とても美しいのですが、私にはこれをテーマにして話す材料が欠落しているので、Wacław Sierpiński の別の仕事について一寸だけ話をします。
因みに Paul Bourke による以下⬇️の作品
に関する私の感想は
ここに M. C. Escher の要素が加わったら更に素敵です💫
Sequences in which prime numbers appear
Gustave Moreau の « L'Apparition » の影響で、ここに登場する動詞 appear を名詞化して表現するなら apparition にしたいところです😎
31 と 37 は共に素数です。
数字をひっくり返すと 13 と 73 になり共に素数なので、31 と 37 は Emirp (primeのanagram) と呼ばれますが、数論的な観点からは研究の価値はあまり高くないように思われます（私見）。
31 と 37 の双方の先頭に 3 を加えると
331 is prime
337 is prime
先ず、31 に対してこれを繰り返してみます：
(31 is prime)
331 is prime
3331 is prime
33331 is prime
333331 is prime
3333331 is prime
33333331 is prime
333333331 = 17 × 19607843
3333333331 = 673 × 4952947
33333333331 = 307 × 108577633
333333333331 = 19 × 83 × 211371803
3333333333331 = 523 × 3049 × 2090353
33333333333331 = 607 × 1511 × 1997 × 18199
333333333333331 = 181 × 1841620626151
3333333333333331 = 199 × 16750418760469
33333333333333331 = 31 × 1499 × 717324094199
333333333333333331 is prime
3333333333333333331 = 1009 × 1303427 × 2534550017
33333333333333333331 = 29^2 × 1039 × 3389 × 11256299321
...
333333333333333333333333333333333333331 = 2543 × 395784797 × 13444955999 × 24632806306436639
3333333333333333333333333333333333333331 is prime
33333333333333333333333333333333333333331 = 17 × 17035727 × 115098364380075484661055637516909
...
200 以下の n に対して 333…331 ((10^n - 1)*10/3 + 1, n ≥ 2) が素数になる n は以下に限られます：
2, 3, 4, 5, 6, 7, 17, 39, 49, 59, 77, 100, 150.
同じことを 37 に対して適用すると状況は異なります。
200 以下の n に対して 333…337 ((10^n - 1)*10/3 + 7, n ≥ 2) が素数になる n は以下に限られます：
2, 5, 45.
実際に計算してみると
(37 is prime)
337 is prime
3337 = 47 × 71
33337 = 17 × 37 × 53
333337 is prime
3333337 = 7 × 31 × 15361
33333337 = 37 × 163 × 5527
333333337 = 29 × 11494253
3333333337 = 191 × 17452007
33333333337 = 37^2 × 24348673
333333333337 = 269 × 5107 × 242639
...
3333333333333333333333333333333333337 = 7^2 × 17 × 29 × 31 × 157 × 937 × 1800443507333 × 16805649817163
33333333333333333333333333333333333337 = 37 × 900900900900900900900900900900900901
…
3333333333333333333333333333333333333337 = 154888889366796971 × 21520803376926332276747
33333333333333333333333333333333333333337 = 37 × 144789231493 × 6222154034600673870854170657
333333333333333333333333333333333333333337 = 9817 × 31991 × 260329 × 883481804627 × 4614790381155637
...
この違いが何処から来るかというと、1 が n個並ぶ Repunit Rₙ 11…1 という数の素因数分解をしてみると判ります。例えば
111 = 3 × 37
111111111111111 = 3 × 31 × 37 × 41 × 271 × 2906161
333…37 の型の素数が滅多に現れない一つの理由は Repunit の素因数に現れる頻度の違いが考えられます。
このように一つの整数から色々な方法で無限数列が作られますが、その数列に素数は出現するか、出現する場合、有限回なのか、或いは無限に出現するのか…というのは非常に興味深い問題です。一方で素数の出現の有無が明確に判っている数列は極めて限られています。
例えば上の例にあるように 3 と 7 を用いた数列 37030703, 370307033, 3703070333,...つまり 37030703 × 10^n + (10^n−1)/3 という数列を見ると、
37030703 is prime
370307033 is prime
3703070333 = 29243 × 126631
37030703333 = 13 × 367 × 1327 × 5849
370307033333 = 6689 × 55360597
3703070333333 = 7 × 23 × 23000436853
37030703333333 is prime
370307033333333 = 29 × 31 × 1249 × 329791783
...
と続き、暫くして n = 144, 180, 402 で素数（n+8 桁）が現れます😨
遥かに良く知られている例では Fibonacci sequence に素数が無限回現れるか否か、未だ解決されていません：
Fermat's Little Theorem
ところで 2 と 5 を除く任意の素数は或る n による Repunit Rₙ の素因数として現れることが知られています。これは実はフェルマーの小定理 Fermat's Little Theorem から直ちに導かれます。（FLTの方が遥かに知られているのは popular science のおかげ…🤔）
これは アルティン予想、厳密には Artin's conjecture on primitive roots に繋がります。とても興味深いのですが、話が発散する為説明は控えます。
💫 1111111 = 239 × 4649 に現れる 4649 から夜露死苦素数という表現を連想しましたが、過度に痴的で言語処理不可能です…
I'm inclined to give 4649 a nickname, which is abominably unintelligent and untranslatable😰
Sierpiński numbers
Preamble が長くなりましたが本題です。
A Sierpiński number is
an odd natural number k such that k×2ⁿ + 1 is composite for all natural numbers n. In 1960, Wacław Sierpiński, a Polish mathematician, proved that there are infinitely many odd integers k which have this property.
Wacław Sierpiński が証明したのは、「どんな自然数 n に対しても k×2ⁿ + 1 が合成数であるような奇数の自然数 k は無限に存在する」ということです。
Wolfram MathWorld に記載されているように、
The smallest known example is k = 78557, proved in 1962 by J. Selfridge, but the fate of a number of smaller candidates remains to be determined before this number can be established as the smallest such number.
つまり現在知られている最小の Sierpiński number は 78557 = 4621 × 17 ですが、これより小さな Sierpiński number が存在するか否か、未だ確認されていません：
一方、78557 が Sierpiński number であることの証明は、高校程度の数学で可能です。実際、b(n) := 78557 × 2ⁿ + 1 = 4621 × 17 × 2ⁿ + 1 と定義すると、以下の通りに計算出来ます：
従って数列 b(n) の素因数の一部は 36 を周期として繰り返すことが判るので、全ての b(n) が合成数であると結論出来ます。
この数列 b(n) は上記の素因数分解より covering set {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73} を持つと言われます。
同様に他の Sierpiński number についても covering set が知られています。
例えば：
271129 (素数)➡️ {3, 5, 7, 13, 17, 241}
327739 (素数) ➡️ {3, 5, 7, 13, 17, 97, 257}
1259779 = 23 × 54773 ➡️ {3, 5, 7, 13, 19, 73, 109}
1777613 = 29 × 61297 ➡️ {3, 5, 7, 13, 17, 19, 109, 433}
2131043 (素数) ➡️ {3, 5, 7, 13, 17, 241}
Sierpiński number に関しては他にも未解決問題があります。
Sierpiński number の定義を見ると、以下の Proth number との共通性が見られますが、実は全く異なる性質のものです。
A Proth number is a number of the form N = k・2ⁿ + 1 for odd k, n a positive integer, and 2ⁿ > k.
Proth prime に関しては以下の藤本伸樹様の記事が参考になるかと思います:
因みに Proth number を研究したのは François Proth、従って Proth の正しい発音は…（殆どの人がHindi語の名前をローマ字表記する際に使われる th を θ のように発音するようなのと、そもそもカタカナ表記自体に限界があるので、まぁ無理な話です…）😶
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