x偏微分とy偏微分が一致すれば、x+yにしか依存しない証明 【わんみん数学メモ】

今日は、次の問題を取り上げます。2変数関数について、そのx偏微分とy偏微分が一致すれば、その関数は x+y にしか依存しないことの証明です。

導入

ちなみに、この問題は、以下の動画で取り扱っています。

▼【編入のための数学演習 第6章 偏微分】例題6-7. チェイン・ルール④：証明問題 『編入数学徹底研究』　

この動画では、(1)を誘導として捉えることで

$$
u=x+y, \ v = x- y
$$

という変数変換によって、証明を実行しています。

でも、この変数変換以外では証明できないのでしょうか？

以下では、一般的に証明をしてみます。

一般的な証明

というわけで、証明が完了しました。

まとめ

実は、どんな変数変換においても、 $${u=x+y}$$ とさえしておけば、 $${z_v}$$ は0になります。

証明中、逆行列の存在を仮定していますが、これが存在するためには、ヤコビアンが0でなければよく、これは「性質の良い変数変換」にとって自然な条件になります。