板をズラして積み上げる

(1)　下から上に積み上げるんじゃなくて、上を先に置いて下へ下へと差し込んでいく発想でやってみよう。

　各板の重心は長さの中央、すなわち両端から 1/2 の位置にある。
　まず、２つの板を積み上げる場合を考える。上の板の重心が、下の板の上にあれば良い。全長が最大になるのは、右上図のように上の板の重心が下の板の端の真上にきたとき。
　その２つの板を１つの物体と考えると、その重心は元の２つの板の重心の中央になる。
　次に、その下に３つ目の板を差し込むと考える。なるべく長くなるように、かつ崩れないようにするためには、上２つの重心が一番下の板の端に来るように乗せれば良い。
　このときこの「３枚の板の重心」がどこにあるかというと、「上２つの重心」と「下１つの重心」を 1：2 に分ける位置である（重さの比が 2：1 だから）。
　最後に、さらにその下に４つ目の板を差し込むと考える。先ほど求めた「３つの板の重心」が一番下の板の端に来るように乗せれば良い。
　このとき板の全長が最も長くなる。その値は、
　　　　　1＋1/2＋1/4＋1/6＝23/12
である。

(2)　(1) の考え方 を続けて板を５枚目、６枚目と増やしていくと、次図のように全長 L は少しずつ確実に長くなっていきます。
　　　　　L＝1＋1/2＋1/4＋1/6＋1/8＋1/10＋…
　さて、この値は限りなく大きくなるのでしょうか？　それとも、上限が決まっているのでしょうか？

　ここで結論を言ってしまうと、実は L は限りなく大きくなります。すなわち L は無限大になります。高校数学Ⅲの用語を使うなら、「収束」せずに、「発散」します。
　説明しましょう。

《解１》
　　　　　L＝1＋1/2（1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋…）
ですから、
　　　　　L'＝1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋…
について調べましょう。

　右辺 1＋1/2＋1/2＋1/2＋… は限りなく大きくなりますから、それより大きな L' も限りなく大きくなります。こうして L＝1＋L'/2 も限りなく大きくなる（無限大に発散する）ことがわかります。

《解２》
　L' が限りなく大きくなることは、次のように説明することもできます。

　《解１》であれ《解２》であれ (2) の《答え》は「板を無限個積み上げたら、全長は無限に長くなる」でした。
　次にもう少し具体的に「板をどの高さまで積み上げたら、全長はどれくらい長くなるか？」を見ていこう。
　まず、板の長さを 10cm、厚さを 1cm とする。どこにでもありそうな板だろう。その板の枚数をどんどん増やしていって、高く高く積み上げて、板がどこまで横に長くなるかを調べてみた。

　板の枚数が５枚までは正確に計算した。５枚積んだ時点で、板の長さの２倍の 20cm を超えた。
　それ以上まともに計算するのは無茶なので、先ほど示した式
　　　　　1＋1/2＋1/3＋ … ＋1/n ＜ 1＋log n
の右辺 1＋log n を使って、n 枚積み上げたときの板の全長 L を求めてみた。不等号の向きから分かるように、それは若干多めに見積もった長さである。理論的な全長 L はそれよりいくらか短い値になる。
　10 枚積み上げると 26cm、100 枚積み上げる（高さ 1m）と 38cm 。思ったほど長さが伸びない。そこで一気に東京スカイツリーの高さ（648m＝64,800枚）まで積み上げると 70cm、エベレスト山の高さ（8,848m＝884,800枚）まで積み上げても 83cm 。全長 L はまだ 1m に届かない。
　ヤケクソというわけではないが、月まで積み上げたら、さすがに 1m を超えた。太陽まで積み上げたら、さらに伸びたものの、2m には届かない。

　そう、「全長 L が無限に長くなる」と言っても、その増え方はこんなものなのである。理屈では無限大であっても、現実には 1m にも達しないのだ。

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〜 無限のいかがわしさ 〜　
▷ サンクトペテルブルクのパラドックス
└ 慶大商学部の論文テストより
▷ 板をズラして積み上げる