1=0.999…てあんま納得できないよな

明らかに $${0.999\cdots <1}$$ だろ
とおもう。
納得できない理由と
等しいことを納得できそうな証明思いついたので書く。

3つの証明

よくある証明を見ていく

１つ目：1/3のやつ

$$
0.333\cdots=\frac{1}{3}
$$

だから$${0.999\cdots}$$は

$$
\begin{align*}
0.999\cdots&=0.333\cdots\times 3\\
&=\frac{1}{3}\times 3\\
&=1
\end{align*}
$$

よって$${0.999\cdots =1}$$である。

確かにそうだ。

２つ目：分数にするやつ

$${x:=0.999\cdots}$$とする。10倍すると$${9.999\cdots}$$で小数点以下をみると一致している。

$$
\begin{align*}
&10x&=&~9.999\cdots\\
-)&~~x&=&~0.999\cdots\\
\hline
&9x&=&~9\\
\end{align*}\\
$$

よって$${x=0.999\cdots=\frac{9}{9}=1}$$である。

なるほどね。

３つ目：極限のやつ

数列$${(a_n)=(0.9,0.99,0.999,0.9999,\cdots)}$$を考えると

$$
0.999\cdots=\lim_{n\to\infty}a_n
$$

である。
$${a_n}$$の一般項は

$$
a_n=1-\frac{1}{10^n}
$$

だから、

$$
\begin{align*}
0.999\cdots&=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)\\
&=1-\frac{1}{\infty}\\
&=1-0\\
&=1
\end{align*}\\
$$

わかるわかる。

じゃあ納得できないね

そんなの解釈次第じゃね？

最初の1/3のやつだけ見せられてたら納得してた気がする。
でも、複数見せられた。全部$${0.999\cdots}$$の解釈が違う。

１つ目の1/3のやつは
$${0.999\cdots=\frac{1}{3}\times 3}$$
と解釈している。

２つ目の分数にするやつは、、、
$${0.999\cdots}$$を10倍しても
小数点以下が維持されるものであると解釈しているとかんがえられるのかな？

３つ目の極限のやつは
数列$${(0.9,0.99,0.999,0.9999,\cdots)}$$
の極限だと解釈している。

全部$${0.999\cdots}$$を異なる解釈で扱っているように見える。
今回は全部$${0.999\cdots=1}$$となるような解釈だったけど、
$${0.999\cdots\neq1}$$となるような解釈もあるんじゃないかと思う。

3つの証明に対する反論

反論に使う解釈

いっそ$${0.999\cdots}$$を$${0.999\cdots\neq1}$$となるような数だと解釈してみる。

1との差$${\varepsilon=1-0.999\cdots=0.000\cdots1}$$を使って
逆に

$$
0.999\cdots:=1-\varepsilon
$$

と定義してみる。

$${\varepsilon}$$は$${0<\varepsilon<1}$$だし、
数直線に穴はないらしいし、
$${\varepsilon}$$は数直線上にあるんじゃないか？

反論

１つ目の1/3のやつと ３つ目の極限のやつはそもそも解釈が違うのだから話にならない。
ここでは$${0.999\cdots}$$は
$${1/3\times 3}$$でも
数列$${(0.9,0.99,0.999,0.9999,\cdots)}$$の極限でもなく、
$${1-\varepsilon}$$であると主張しているのだから。

なので、２つ目の分数のやつを見ていく。

$${x=0.999\cdots}$$だったので、$${x=1-\varepsilon}$$だ。
そして同様にやっていくと、

$$
\begin{align*}
&10x&=&~10-10\varepsilon\\
-)&~~x&=&~1-\varepsilon\\
\hline
&9x&=&~9-9\varepsilon\\
\therefore~&x&=&~1-\varepsilon\\
\end{align*}
$$

となった。ここからは何もわからなかった。
$${x=1}$$であるとは言えないよ。

反論のおかしいところ

周知のとおり$${0.999\cdots =1}$$であるので、前述の反論はおかしい。
どこがおかしいかというと、

というところ。$${\varepsilon}$$は数直線上に存在しない。
これが証明できれば、少なくとも解釈での隙は無い証明になるのではないだろうか。
ということで証明をしたい。

証明（εのやつ）

背理法によって証明する。

仮定

$${0.999\cdots \neq1}$$と仮定すると、
$${\varepsilon:=1-0.999\cdots}$$は$${0}$$でない。

これでおかしなことが見つかれば
$${0.999\cdots \neq1}$$
が間違っていると認めれる。

εの性質

$${0.999\cdots \neq1}$$だとすると$${0.999\cdots <1}$$だから、

$$
\varepsilon>0
$$

である。

$${\varepsilon=0.000\cdots1}$$とあらわせるが、これを満たすには、
1/10より小さくなくてはいけない。
1/10000000よりも小さくなくてはいけない。
1/10000000000000000よりも小さくなくてはいけない。

$$
どんなに大きい自然数~n~を持ってきたとしても\\
1/n>\varepsilon
$$

でなければいけない。

あとは、普通に足し算引き算くらいはできるでしょう。

$$
-\varepsilon<0<\varepsilon<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon<3\varepsilon
$$

矛盾構築準備

ここで区間を考える。区間は連続した数の集合であった。
$${\lbrace x\mid a\le x \le b \rbrace}$$は区間で、$${[a,b]}$$、
$${\lbrace x\mid a< x < b \rbrace}$$も区間で、$${(a,b)}$$、
$${\lbrace x\mid a\le x < b \rbrace}$$も区間で、$${[a,b)}$$と表記される。

区間$${S_n}$$を次のように定義する。

$$
\begin{align*}
S_1&:=[0,\varepsilon)\\
S_2&:=[0,2\varepsilon)\\
&\vdots\\
S_n&:=[0,n\varepsilon)\\
&\vdots\\
\end{align*}
$$

次に集合$${S}$$を次のように定義する。

$$
S:=\lbrace x\mid 十分に大きい自然数nを持ってくれば , x\in S_n\rbrace
$$

するとこの$${S}$$は区間となっていて、このような見た目になる。0から始まり、1に到達する前に終わる区間である。最小値は0で、最大値は存在しない。

区間$${S}$$には性質として以下のようなものがある。
重要なのは3と5。

性質1:$${S_1\sub S_2 \sub \cdots\sub S_n\sub \cdots\sub S (どのS_nよりもSは大きい)}$$
性質2:$${\min S=0~(区間Sには最小値は0)}$$
性質3:$${区間Sには最大値はない}$$
性質4:$${1\notin S~(Sには1は存在しない)}$$
性質5:$${x\in S ~ならば~ x+\varepsilon\in S}$$
性質6:$${a\in Sに対して、[0,a]\sub S~(0からaまでの数は全部入っている)}$$

以下、説明というか証明というか

性質1は例えば、
$${0}$$は$${n}$$として$${1}$$を持ってくれば、$${0\in S_1}$$だから、$${0\in S}$$。
$${\varepsilon}$$は$${n}$$として$${2}$$を持ってくれば、$${\varepsilon\in S_2}$$だから、$${\varepsilon\in S}$$。
一般に、$${0\le x\le m\varepsilon}$$の数$${x}$$があったら、
$${n}$$として$${m+1}$$を持ってくればいいので、$${x\in S}$$。

性質2は
$${0}$$が区間$${S}$$に入っていることと、
どのような自然数$${n}$$をとっても負の数が区間$${S_n}$$に入らないことからわかる。

性質3は最大値$${s}$$が存在したと仮定すると、
$${s\in S_N}$$を満たすような自然数$${N}$$が存在することなるが、
$${S_N}$$の定義から$${s<N\varepsilon}$$であり、
$${N\varepsilon\in S}$$であるので、$${s}$$が最大値であることと矛盾する。

性質4は$${\varepsilon}$$の性質としてどんなに大きな自然数$${N}$$をかけても、1より大きくならない($${1/N>\varepsilon}$$)というものがあったことからわかる。

性質5は
$${x}$$が区間$${S}$$に入っていたということは
$${x\in S_n}$$となるような自然数$${n}$$があったということなので、
$${S_{n+1}}$$を考えれば、$${ x+\varepsilon\in S_{n+1}}$$となるので、
$${x+\varepsilon\in S}$$がわかる。

性質6は、
$${a}$$が$${S}$$に入っていたということは
自然数$${n}$$をうまくとれば、$${a\in S_n}$$となったということだから、
$${[0,a]\sub S_n}$$。
性質1より$${S_n\sub S}$$だから、
$${[0,a]\sub S_n\sub S}$$がわかる。

矛盾構築

ここで区間$${[0,1]}$$の残りの部分の区間$${T}$$を考える。
($${T:=[0,1] \setminus S}$$)
区間$${T}$$はこのような見た目になる。

区間$${S}$$には最大値がなかったので、区間$${T}$$には最小値が存在する。
この最小値を$${t}$$とすると、これが矛盾を起こす。

$${t}$$は最小値なので、$${t-\varepsilon}$$は区間$${S}$$にある。
区間$${S}$$の性質5より$${(t-\varepsilon)+\varepsilon}$$は区間$${S}$$に入っていることがわかる。
つまり$${t\in S}$$であるが、$${t}$$は区間$${T}$$の最小値であったはずなので矛盾である。

よって$${0.999\cdots \neq1}$$と仮定したことが誤りであることがわかった。

おわりに

証明を思いついたので書いてみた。

$${0.999\cdots =1}$$は当たり前でなく、実数の構成にもかかわってくる。
今回の証明は切断を使って証明を行った。

この証明は集合の操作がちょっと難しいので、もっと簡単なのがあればいいな。