漸化式問題集その２（階差・階比）

少し間が空いてしまったが、漸化式シリーズ第2弾を書こうと思う。今回は階差と階比を確認していこう。

例題

(3) 階差数列型

$${a_1=2, \quad a_{n+1}=a_n+3n-2}$$

(4) 階比数列型

$${a_1=2, \quad a_{n+1}=\dfrac{n+1}{n}a_n}$$

解答

(3) 階差数列型

階差数列については、 $${n≧2}$$のときは, $$a_n=$$初項 $${+\Sigma}$$階差が成り立つので、これに代入すれば良い*。ただし、階差を $${\Sigma}$$で足していくときに、 $${k=1\sim n−1}$$で足すことになり、この $${n−1}$$というのは$${n≧2}$$ の条件下でないと、 $${n}$$は自然数にならないので、 $${n=1}$$のときにも先程求めた一般項は成り立つのか？というのを確認する必要があるので注意が必要である。

*なぜそうなるのか？を一応式で説明しておく。
$${a_2​=a_1​+(a_2​−a_1​)}$$
$${a_3​=a_2​+(a_3​−a_2​)=a_1+(a_2​−a_1​)+(a_3​−a_2​)}$$
$${a_4​=a_3​+(a_4​−a_3​)=a_2+(a_3​−a_2​)+(a_4​−a_3​)=a_1+(a_2​−a_1​)+(a_3​−a_2​)+(a_4​−a_3​)}$$
これを繰り返していくと、以下の式が成り立つ気がしないだろうか。
$${a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1}-a_k)}$$

このことを用いると、今回の問題では、 $${n≧2}$$の条件下で
$${a_n=2+\sum_{k=1}^{n-1}(3k-2)=2+3\times \dfrac{1}{2}n(n-1)-2(n-1)=\dfrac{3}{2}n^2-\dfrac{7}{2}n+4}$$
となり、これは$$n=1$$のときにも成り立つことがわかる。よって答えは$${a_n=\dfrac{3}{2}n^2-\dfrac{7}{2}n+4}$$
となる。

(4) 階比数列型

この問題も、漸化式を繰り返し使ってくことによって答えを求めることができる。
$${a_n=\dfrac{n}{n-1}a_{n-1}, \quad a_{n-1}=\dfrac{n-1}{n-2}a_{n-2}, \quad \cdots, \quad a_2=2a_1}$$
これらを次々と代入していくことで、以下の答えを得る。
$${a_n=\dfrac{n}{n-1}\cdot\dfrac{n-1}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{1}a_1=na_1=2n}$$

今回の記事は以上になる。次回は特性方程式型から扱っていこうと思う。