第十回B4輪講　演習問題(2026/7/6)

先日行われた第十回B4輪講会は河口が担当しました. 教科書は例年通り, 越野和樹さんの「共振器量子電磁力学」を使用しています.

今回は「弾性・非弾性散乱」, 「Mollow三重項」などについて学習しました.
以下に演習問題を掲示します.

大問1

$${ \gamma = \gamma_e (\gamma_i = 0) }$$, $${ \Delta\omega = 0 }$$とおく．このとき弾性散乱確率 $${ P_{el} }$$ は以下の形で書ける．

$$
P_{el}(s) = \left( \frac{1 - s}{1 + s} \right)^2
$$

ここで $${ s \propto 1/|E_{in}|^2 }$$ である．

1. $${ s \rightarrow 0 }$$, $${ s \rightarrow \infty }$$ の極限を求めよ．

2. 最小値を求めよ．

3. $${ |E_{in}|^2 \ll 1 }$$, $${ |E_{in}|^2 \gg 1 }$$ で弾性散乱が支配的になり，中間強度で非弾性散乱が最大になることを説明せよ．

大問２

単一モード共振器（共振周波数 $${ \omega_c }$$, 全減衰率 $${ \kappa }$$）に、外部から周波数 $${ \omega_{\mathrm{in}} }$$ の古典的な電磁場 $${ \mathcal{E}_{\mathrm{in}} }$$ を入射する系を考える。このとき、共振器モードの振幅の期待値 $${ \langle \hat{a} \rangle }$$ に対する運動方程式は次のように与えられる。

$$
\frac{d}{dt} \langle \hat{a} \rangle = \left( -i\omega_c - \frac{\kappa}{2} \right) \langle \hat{a} \rangle - i \sqrt{\kappa_e} \mathcal{E}_{\mathrm{in}}(t)
$$

入射場が $${ \mathcal{E}{\mathrm{in}}(t) = E_0 e^{-i\omega{\mathrm{in}}t} }$$ の時間依存性を持つとし、十分時間が経過した後の定常状態について以下の問いに答えなさい。

問1：系が定常状態に達したとき、共振器モードの振幅も入射場と同じ時間依存性 $${ \langle \hat{a} \rangle = A e^{-i\omega_{\mathrm{in}}t} }$$ を持つと仮定できる。この仮定を運動方程式に代入し、定常解が以下の形で与えられることを示せ。

$$
\langle \hat{a} \rangle = \frac{-i\sqrt{\kappa_e}}{\kappa/2 - i\Delta\omega} \mathcal{E}_{\mathrm{in}}(t)
$$

ただし $${ \Delta\omega = \omega_{\mathrm{in}} - \omega_c }$$ である。

問2：共振器内に蓄えられる定常的な光子数に比例する量 $${ n = |\langle \hat{a} \rangle|^2 }$$ を計算せよ。また、$${ n }$$ を $${ \Delta\omega }$$ の関数としてグラフに描いたとき、これがローレンツ型関数になることを示し、そのスペクトルの半値全幅を $${ \kappa }$$ を用いて表せ。

以上の問題を次回の発表者以外のB4の2人に割り振り, 来週解説してもらいます.