光と物質の相互作用_M1輪講@横浜国立大学_光と物質の量子論研究室

1. はじめに

M１輪講の第五回を担当しましたM１の中尾です。
今回の輪講では、「光物性入門」小林先生[1]を用いて、次の２点を理解することを目標とします！

• 光と電子との相互作用をハミルトニアンから定量的に理解すること

• フェルミの黄金律を用いて、光遷移確率を定量的に理解すること

[1] 小林浩一, 光物性入門, 裳華房, 1997年４月
※トップ画像は，Gemini 2.5Flash（2025年8月23日)を用いて生成.

今日の学びとしては, 場の演算子を導入することで複雑な多粒子系を理解することです. 中でも, 光・電子系の相互作用について深堀りします.
第２量子化やフェルミの黄金則を用いて, 光・電子系の相互作用に起因する光遷移の仕組みを定量的に理解できることを目的として, 本文を読んでいただけますと幸いです.  

2. 光・電子系のハミルトニアン

この章では,

• ハミルトン方程式

• ヘルツホルムの定理

• 第２量子化

を用いて, 光・電子系のハミルトニアンを導出する. 

電磁場と相互作用をする物質中の実体は電荷である. いま, 考える光の波
長領域を可視光付近に限るとすれば, 光と格子振動のエネルギー差が大きい
ために光による格子振動の直接的な励起はほとんど起こらず, したがって, 
ここでは格子系は考えず, 物質を質量$${m}$$, 電荷$${e}$$の電子の集まりで代表させる. このとき, 光と電子よりなる系のラグランジアン密度$${\mathcal{L}}$$は, 

$$
\begin{align}
\mathcal{L} &= \psi^{*} \left[
\left( i \hbar \frac{\partial}{\partial t}- e \phi
- \frac{1}{2m} (i \hbar \nabla - e \bm{A}) \cdot (-i \hbar \nabla - e \bm{A})
- V \right)
\right] \psi \notag \\
&\quad + \frac{\epsilon_0}{2} (-\nabla \phi - \dot{\bm{A}} )^{2} -\frac{\epsilon_0 c^2}{2} (\nabla \times \bm{A})^2
\end{align}
$$

と書かれる. ここで, $${\psi}$$は電子場を表し, $${V}$$は電子に対するポテンシャルで, $${\phi, \bm{A}}$$は以下で定義されたスカラーおよびベクトルポテンシャルである. 

$$
\begin{align}
\bm{E} &= -\nabla \phi - \dot{\bm{A}} \\
\bm{B} &= \nabla \times \bm{A} 
\end{align}
$$

このラグランジアン密度$${\mathcal{L}}$$は, ラグランジュ方程式によって, 式(1)から正しい波動方程式とMaxwell方程式が得られるので, その正当性を確かめることが出来る. （[1] p223-p225参照）

2.1 ハミルトン方程式

この系のハミルトニアン密度$${\mathcal{H}}$$は, $${\psi}$$に共役な運動量と$${\mathcal{L}}$$を用いて, 以下のハミルトン方程式より, 式(4)のように求まる. 

$$
\begin{align}
\mathcal{H} = \sum_{i} \pi_{i} \dot{\psi}, \pi_{i} =\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi_i}} \notag
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
\mathcal{H} &= \psi^{*} \left[
\left(  \frac{1}{2m} (i \hbar \nabla - e \bm{A}) \cdot (-i \hbar \nabla - e \bm{A})
+  e \phi + V  \right)
\right] \psi \notag \\
&\quad +\epsilon_{0}(\dot{\bm{A}}+\nabla \phi) \cdot \dot{\bm{A}} - \frac{\epsilon_0}{2} (-\nabla \phi - \dot{\bm{A}} )^{2} +\frac{\epsilon_0 c^2}{2} (\nabla \times \bm{A})^2
\end{align}
$$

となる. ところで, 式(4)の右辺第４項と第５項は,  

$$
\begin{align}
\epsilon_{0}(\dot{\bm{A}}+\nabla \phi) \cdot \dot{\bm{A}} - \frac{\epsilon_0}{2} (-\nabla \phi - \dot{\bm{A}} )^{2} &= 
\frac{\epsilon_{0}}{2}\left[\dot{\bm{A}}^2 - (\nabla \phi)^{2} \right] \notag \\
&=\frac{\epsilon_{0}} {2} \left[(-\nabla \phi - \dot{\bm{A}})^2 + 2 (-\nabla \phi - \dot{\bm{A}}) \cdot \nabla \phi \right] \notag
\end{align}
$$

と変形できる. ここで, 式(2),(3)を用いると, 光・電子系のハミルトニアン$${H}$$は以下のように求まる. 

$$
\begin{align}
H &= \int \mathcal{H} ~dv \notag \\
&= \int \left\{
\psi^{*} \left[
\left( \frac{1}{2m} (i \hbar \nabla - e \bm{A})
\cdot (-i \hbar \nabla - e \bm{A}) + e \phi + V \right)
\right] \psi \right. \notag \\
&\quad + \frac{\epsilon_0}{2} (\bm{E}^2 + 2 \bm{E} \cdot \phi)
+ \left. \frac{\epsilon_0 c^2}{2} \bm{B}^2 \right\} ~dv
\end{align}
$$

式(5)の中に現れた$${\int \bm{E} \cdot \nabla \phi ~dv}$$は部分積分（無限遠方では場の演算子は０になる）とガウスの法則より, 

$$
\begin{align}
\int \bm{E} \cdot \nabla \phi ~dv &=\bm{E} \cdot \phi -\int (\nabla \cdot \bm{E})\phi ~dv \notag \\
&=- \frac{1}{\epsilon_{0}} \int \rho \phi ~dv \notag \\
&= - \frac{1}{\epsilon_{0}} \int e \psi^{*}\phi \psi ~dv
\end{align}
$$

従って, 式(5)は

$$
\begin{align}
H &= \int \left\{
\psi^{*} \left[\left( \frac{1}{2m} (i \hbar \nabla - e \bm{A})
\cdot (-i \hbar \nabla - e \bm{A}) + V \right)\right] \psi \right. \notag \\
&\quad + \frac{\epsilon_0}{2} \bm{E}^2
+ \left. \frac{\epsilon_0 c^2}{2} \bm{B}^2 \right\} dv
\end{align}
$$

と書くことが出来る. 

2.2 ヘルツホルムの定理

ヘルツホルムの定理によれば, 任意のベクトル場$${\bm{V}}$$は, $${\nabla \times \bm{V_1} =0 }$$を満たす非回転ベクトル場$${V_1}$$と, $${\nabla \cdot \bm{V_2} =0}$$を満たすソレノイド場$${\bm{V_2}}$$の和として表される. 

従って, 電場$${\bm{E}}$$を縦成分$${\bm{E}_{L}}$$と横成分$${\bm{E}_{T}}$$に分解することが出来る. ただし, 以下の関係を満たす. 

$$
\begin{align}
\bm{E} = \bm{E}_{T} + \bm{E}_{L}, \\
\nabla \cdot \bm{E}_T =0, \\
\nabla \times \bm{E}_L = 0.
\end{align}
$$

式(2)に式(8)を代入し, 両辺の div をとり, クーロンゲージの条件と式(9)を代入すれば, 

$$
\begin{equation}
\bm{E}_{L} =-\nabla \phi 
\end{equation}
$$

また, 式(11)をポアソン方程式に代入すれば, 

$$
\begin{align}
\frac{\rho}{\epsilon_{0}} &= -\nabla \cdot \nabla \phi  \notag \\
&= \nabla \cdot \bm{E}_{L}
\end{align}
$$

となる. 
$${\bm{E}_{T}}$$は式(2)の両辺の rot をとり, 式(10)と式(14)を使えば, 

$$
\begin{align}
\bm{E}_{T} = -\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}
\end{align}
$$

となる. 
$${\bm{B}}$$については, $${\nabla \cdot \bm{B} = 0}$$が成り立つので, $${\bm{B}}$$は横成分$${\bm{B}_{T}}$$だけで, 

$$
\begin{equation}
\bm{B} = \bm{B}_{T} = \nabla \times \bm{A}
\end{equation}
$$

である. 

2.2節の議論から, $${\bm{E}_{L,T}}$$を用いてハミルトニアンを計算する. 
$${\bm{E}^2 = \bm{E}_{T}^2 + \bm{E}_{L}^2  +2 \bm{E}_{T} \cdot \bm{E}_{L} }$$であるから, 式(7)に現れた$${\int \bm{E}^2 dv}$$は$${\int \bm{E}_{T}^2 ~dv + \int \{ \bm{E}_{L} \cdot (2\bm{E}_{T}  + \bm{E}_{L}) \}dv}$$となる. このうちの第２項は, 部分積分と式(9), (11), (12)及びポアソン方程式の解$${\phi(\bm{r}) =\int  \frac{\rho(\bm{r}')}{4 \pi \epsilon_{0} |\bm{r}-\bm{r}'|} dv}$$を代入すれば, 

$$
\begin{align}
\int  \bm{E}_{L} \cdot (2\bm{E}_{T}  + \bm{E}_{L}) dv &= -\int\nabla \phi \cdot (2\bm{E}_{T}  + \bm{E}_{L})dv = \int\phi \nabla \cdot \bm{E}_{L}dv \notag \\
&= \frac{1}{\epsilon_{0}}\int \phi \rho ~dv = \frac{1}{\epsilon_{0}}\int \frac{\rho(\bm{r}') \rho(\bm{r})}{4 \pi \epsilon_{0} |\bm{r}-\bm{r}'|} dv dv'
\end{align}
$$

と求まる. 従って, 式(7)は, 

$$
\begin{align}
H &= \int \left\{
\psi^{*} \left[\left( \frac{1}{2m} (i \hbar \nabla - e \bm{A})
\cdot (-i \hbar \nabla - e \bm{A}) + V \right)\right] \psi
\right\} dv \notag \\
&\quad + \frac{\epsilon_0}{2} \int (\bm{E}_{T}^2 + c^{2} \bm{B}^2) dv + \frac{1}{2} \int \frac{\rho(\bm{r}') \rho(\bm{r})}{4 \pi \epsilon_{0} |\bm{r}-\bm{r}'|} dv dv'
\end{align}
$$

と書かれる. 上式の右辺の第２項は電磁場のエネルギーで, 第３項は電荷分布$${\rho = e \psi^{*}(\bm{r}) \psi(\bm{r}) }$$による内部的なクーロンエネルギーである. 

2.3 第２量子化

電子場の量子化を行うために, 以下の条件を課す. 

$$
\begin{align}
\psi^{*} \to \psi^{\dagger},\\
[\psi(\bm{r}), \psi(\bm{r'})]=[\pi(\bm{r}), \pi(\bm{r'})]=0,\\
[\psi(\bm{r}), \pi(\bm{r'})]=i \hbar \delta(\bm{r} - \bm{r'})
\end{align}
$$

この条件によって, $${\psi, ~\psi^{\dagger}}$$はそれぞれ$${A,~\phi}$$と可換になるので, 式(16)の第１項（$${V}$$を除く）は, 

$$
\begin{align}
\int \psi^{\dagger} \left[ \frac{1}{2m} (i \hbar \nabla - e \bm{A})
\cdot (-i \hbar \nabla - e \bm{A}) \right] \psi dv 
&= \int \frac{1}{2m} [(i \hbar \nabla - e \bm{A}) \psi^{\dagger}]
\cdot [(-i \hbar \nabla - e \bm{A}) \psi] dv \notag \\
&= \frac{\hbar^{2}}{2m} \int \nabla \psi^{\dagger} \cdot \nabla \psi dv
+ \frac{i \hbar e}{2m} \int (-\nabla \psi^{\dagger} \cdot \bm{A} \psi
+ \bm{A} \psi \cdot \nabla \psi) dv \notag \\
&\quad + \frac{e^2}{2m} \int \bm{A} \psi^{\dagger} \cdot \bm{A} \psi dv
\end{align}
$$

となるが, 上式右辺第２項の積分は部分積分を行い, クーロンゲージを考慮すれば, 

$$
\begin{align}
\int - \nabla \psi^{\dagger} \cdot \bm{A} \psi dv
&= \int [\psi^{\dagger} \nabla \cdot (\bm{A} \psi)]dv \notag \\
&= \int [\psi^{\dagger} \{ (\nabla \cdot \bm{A})\psi+(\bm{A} \cdot \nabla)\psi \}]dv \notag \\
&=\int \psi^{\dagger} \bm{A} \cdot \nabla \psi dv, \\
\int \bm{A} \psi^{\dagger}\cdot \nabla\psi dv &=\int \psi^{\dagger} \bm{A} \cdot \nabla \psi dv
\end{align}
$$

以上より, 式(20)は, 

$$
\begin{align}
H &= \int \left( \frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla \psi^{\dagger} \cdot \nabla \psi
+ V \psi^{\dagger} \psi \right) dv
+ \frac{\epsilon_0}{2} \int (\bm{E}_{T}^2 + c^{2} \bm{B}^2) dv \notag \\
&\quad + \frac{1}{2} \int \frac{\rho(\bm{r}') \rho(\bm{r})}{4 \pi \epsilon_{0} |\bm{r}-\bm{r}'|} dv dv' \notag \\
&\quad + \frac{i \hbar e}{m} \int \psi^{\dagger} \bm{A} \cdot \nabla \psi dv
+ \frac{e^2}{m} \int \psi^{\dagger} \bm{A}^2 \psi dv
\end{align}
$$

と求まる. これが光・電子系のハミルトニアンである. 

• 第１項
  電磁場がなく互いに相互作用のない多粒子のハミルトニアン

• 第２項
  真空中での電磁場のハミルトニアン

• 第３項
  電荷間の内部的なハミルトニアン
  これより, 電子のクーロンエネルギーと交換エネルギーが現れる

• 第４項
  電磁場と物質との１次の相互作用項であり, この項は１個の光量子の吸収あるいは放出に関する項

• 第５項
  電磁場と物質との２次の相互作用項であり, この項は２個の光量子の吸収あるいは放出に関する項

＊補足）
第４項で, 電磁場と物質の１次の相互作用項だから、１光子の吸収・放出を表すと述べた.  これは電磁場の量子化によって, ベクトルポテンシャル$${\bm{A}}$$と光子の生成消滅演算子$${a_{\bm{k}}, a^{\dagger}_{\bm{k}}}$$との間に以下の関係が成り立つからである. 

$$
\begin{align}
\bm{A} = \sum_{\bm{k}} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \epsilon_{0}V \omega_{\bm{k}}}} [a_k(t) e^{i \bm{k} \cdot \bm{r} } + a^{\dagger}_k(t) e^{-i \bm{k} \cdot \bm{r} } ]\bm{e_{\bm{k}}}
\end{align}
$$

3. 光遷移確率

この章では，

• 摂動論

• フェルミの黄金則

を用いて，光と物質（今回の場合は電子）の相互作用による光遷移現象について議論する．

3.1 摂動論

前章で導いたハミルトニアン式(24)を無摂動部分$${H_{0}}$$と摂動部分$${H^{'}}$$に分ける．無摂動部分$${H_{0}}$$は電子系と電磁場がそれぞれ独立にある場合に対するもので，

$$
\begin{align}
H_{0}  &= \int \left( \frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla \psi^{\dagger} \cdot \nabla \psi
+ V \psi^{\dagger} \psi \right) dv+ \frac{1}{2} \int \frac{\rho(\bm{r}') \rho(\bm{r})}{4 \pi \epsilon_{0} |\bm{r}-\bm{r}'|} dv dv' \notag \\
&\quad+ \frac{\epsilon_0}{2} \int (\bm{E}_{T}^2 + c^{2} \bm{B}^2) dv 
\end{align}
$$

この式の右辺第１項と第２項は，結晶の格子を作る電荷$${Ze}}$$のイオンが格子点に静止しているときの，結晶中の電子に対するハミルトニアンである．そのエネルギーは電子系が励起状態にあるときは励起子エネルギーである．
また第 3 項は真空中の電磁波のハミルトニアンであるから，そのエネルギーは電磁場のエネルギーである．
従って，電子場$${\psi}$$と電磁波$${\bm{A}}$$を第２量子化することで，ハミルトニアンは次のように求まる. 

$$
\begin{align}
H_{0} = \sum_{\nu\bm{K}} b_{\nu\bm{K}}^{\dagger} b_{\nu\bm{K}} E^{0}_{\nu\bm{K}} + \sum_{\bm{k}} a_{\bm{k}}^{\dagger} a_{\bm{k}} \hbar \omega_{\bm{k}}
\end{align}
$$

ただし，零点エネルギーは除いた．
また，$${b_{\nu\bm{K}}^{\dagger}, b_{\nu\bm{K}}}$$はそれぞれ$${\nu\bm{K}}$$励起子の生成・消滅演算子を表し，$${a_{\bm{k}}^{\dagger}, a_{\bm{k}}}$$はそれぞれ光子の生成・消滅演算子を表す．
電磁場の量子化については文献[1]の２章で，電子場の量子化については文献[1]の３章で詳しく説明されているので，詳細に関しては割愛させて頂く．

摂動部分は残りの部分で物質と光との相互作用を表すが，このうちの最後の項は２光子過程で第４項の１光子過程に比べて効果が小さいので，ここではこれを考えないことにする. 従って，摂動部分$${H^{'}}$$は, 

$$
\begin{align}
H^{'} = \frac{i \hbar e}{m} \int \psi^{\dagger} \bm{A} \cdot \nabla \psi dv
\end{align}
$$

である．すなわち，光・電子相互作用は$${(i \hbar e / m) \bm{A} \cdot \nabla}$$であり，これを$${W_{exR}}$$とする. 

実際に見られる結晶の光遷移は，光による結晶の基底状態$${\mathit{\Psi}_{0}}$$と励起子状態$${\mathit{\Phi}^{0}_{\nu\bm{K}}}$$の間の遷移であるから，ここでは電子状態がこれら両者だけから成る系を考える．（図１）

相互作用に現れる$${\bm{A}}$$は式(24)であり，それには光子の生成・消滅演算子$${a_{\bm{k}}^{\dagger}}$$と$${a_{\bm{k}}}$$があるので, この遷移には次の２つの場合がある．

• 吸収
  光が吸収されて，$${\mathit{\Psi}_{0}}$$が$${\mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}}}$$に変わる遷移

• 放出
  $${\mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}}}$$が光を放出して$${\mathit{\Psi}_{0}}$$に変わる遷移

ここで価電子帯として$${m}$$バンド，電子帯$${n}$$バンドのを考える．

$${W_{exR}}$$による第２量子化で書かれた光・励起子相互作用ハミルトニアン$${H_{exR}~^{'}}$$は, $${\bm{A}}$$として式(24)を用い，遷移が基底状態$${\mathit{\Psi}_{0}}$$と励起子状態$${\mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}}}$$の間であることを考慮すれば，

$$
\begin{align}
H_{exR}~^{'} = H_{exR}~^{'} (\mathrm{ab}) + H_{exR}~^{'} (\mathrm{em})
\end{align}
$$

となる．ただし，$${H_{exR}~^{'} (\mathrm{ab})}$$は光吸収に対する部分であり, $${H_{exR}~^{'} (\mathrm{em})}$$は光放出に関する部分であるので，以下の様に表される. 

$$
\begin{align}
H_{exR}~^{'} (\mathrm{ab}) &= \sum_{\nu \bm{K}} b_{\nu \bm{K}}^{\dagger} \int \mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}} W_{exR} \mathit{\Psi}_{0} ~dv, \notag \\
H_{exR}~^{'} (\mathrm{em}) &= \sum_{\nu \bm{K}} b_{\nu \bm{K}} \int \mathit{\Psi}_{0}  W_{exR} \mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}} ~dv. \notag 
\end{align}
$$

式(24)を代入すると, 

$$
\begin{align}
H_{exR}~^{'} (\mathrm{ab}) &= \frac{i \hbar e}{m} \sum_{\bm{k}} (\frac{\hbar}{2 \epsilon_{0} V \omega_{\bm{k}} })^{1/2} \sum_{\nu \bm{K}} b_{\nu \bm{K}}^{\dagger} a_{\bm{k}} \int \mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}} [\sum_{j} \exp (i \bm{k} \cdot \bm{r_{j}}) \bm{e}_{\bm{k}} \cdot \nabla] \mathit{\Psi}_{0} ~dv_{1} \cdots dv_{2N}, \notag \\
H_{exR}~^{'} (\mathrm{em}) &= \frac{i \hbar e}{m} \sum_{\bm{k}} (\frac{\hbar}{2 \epsilon_{0} V \omega_{\bm{k}} })^{1/2} \sum_{\nu \bm{K}} b_{\nu \bm{K}} a_{\bm{k}}^{\dagger} \int \mathit{\Psi}_{0} [\sum_{j} \exp (-i \bm{k} \cdot \bm{r_{j}}) \bm{e}_{\bm{k}} \cdot \nabla] \mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}} ~dv_{1} \cdots dv_{2N}. \notag
\end{align}
$$

なお，$${\mathit{\Psi}_{0}}$$と$${\mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}}}$$は$${2N}$$個の電子座標を含み，$${\bm{A} \cdot \nabla}$$は各電子の座標に作用する演算子なのであるから, 上式は電子の番号$${j}$$についての和をとってある. 

3.2 フェルミの黄金則

この説では, 光吸収と光放出の遷移確率を求める．一般に，状態$${i}$$と状態$${f}$$との間に相互作用$${H_{I}(t)}$$があるとき, これによる状態$${i}$$から状態$${f}$$への単位時間あたりの遷移確率$${W_{if}}$$はフェルミの黄金則と呼ばれる, 

$$
\begin{equation}
W_{if} = \frac{2 \pi}{\hbar^{2}} \left| \langle f | H_I | i \rangle \right|^{2} \delta(\omega_{i} - \omega_{f})
\end{equation}
$$

により求められる. ただし, $${H_{I}}$$は$${H_{I}(t)}$$から時間を除いたものである. 

まず，物質による光吸収を考える. （図２）

初期状態$${i}$$として, 電子系は基底状態（つまり励起子のない状態）$${| 0 \rangle }$$にあり, 光は$${\bm{k}}$$光子が$${n_{\bm{k}}}$$個ある状態$${| n_{\bm{k}} \rangle}$$をとる．また, 終状態$${f}$$としては$${\bm{k}}$$光子が１個吸収され, $${\nu \bm{K}}$$励起子が励起された状態をとる. 

このときの遷移確率を$${W_{\mathrm{ab}}(0, \nu \bm{K})}$$とすれば, $${H_{I}}$$として，式(28)で定義した$${H_{exR}~^{'}}$$を用い, 光子及び励起子がボゾンであることを考える． この場合は$${b_{\nu \bm{K}} | 0 \rangle =0}$$より$${H_{exR}~^{'} (\mathrm{em})}$$の項は$${0}$$になるので, 

$$
\begin{align}
W_{\mathrm{ab}} (0,\nu \bm{K}) &= \frac{2 \pi}{\hbar^2} \left| \langle n_{\bm{k}}-1, \nu \bm{K} | H_{exR}~^{'}(\mathrm{ab}) | n_{\bm{k}},0 \rangle \right|^{2} \delta(\omega_{\nu \bm{K}} - \omega_{\bm{k}}) \notag \\
&= \frac{\pi \hbar e^2 n_{\bm{k}}}{m^2 \epsilon_{0} V \omega_{k}} 
\left| \int \mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}}~^{*} [\sum_{j} \exp(i \bm{k} \cdot \bm{r_{j}}) \bm{e}_{\bm{k}} \cdot \nabla_{j}] \mathit{\Psi}_{0} ~dv_{1} \cdots dv_{2N} \right|^2 \delta(\omega_{\nu \bm{K}} - \omega_{\bm{k}}) \notag
\end{align}
$$

と求まる. なお, 波数保存$${\bm{K} = \bm{k}}$$が成り立つ必要があるので, $${\bm{k}}$$に関する和は考えなくてよい. また, エネルギー保存則より, $${\omega_{\nu \bm{K}} = (E^{0}_{\nu \bm{K}}-E_0)/h}$$である. 

さて，$${n_{\bm{k}}}$$個の$${\bm{k}}$$光子が単位面積を単位時間に横切るエネルギーフラックス, すなわち$${n_{\bm{k}}}$$個の$${\bm{k}}$$光子による入射光強度$${I_{\bm{k}}}$$は$${n_{\bm{k}} \hbar \omega_{\bm{k}} c / V}$$であり, これより上式は, 入射光強度$${I_{\bm{k}}}$$を用いて, 

$$
\begin{equation}
W_{\mathrm{ab}} (0,\nu \bm{K}) = \frac{\pi  e^2 I_{\bm{k}}}{m^2 \epsilon_{0} \omega_{k}^{2} c} \left| \int \mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}}~^{*} [\sum_{j} \exp(i \bm{k} \cdot \bm{r_{j}}) \bm{e}_{\bm{k}} \cdot \nabla_{j}] \mathit{\Psi}_{0} ~dv_{1} \cdots dv_{2N} \right|^2 \delta(\omega_{\nu \bm{K}} - \omega_{\bm{k}}) \notag
\end{equation}
$$

となる. 光吸収では, 遷移確率は入射光強度に比例することがわかる. 

同様にして，$${\nu \bm{K}}$$励起子が$${\bm{k}}$$光子を放出して基底状態に変わる光放出（図３）の遷移確率$${W_{\mathrm{em}}(\nu \bm{K},0)}$$を考える. 
初期状態$${i}$$として, 電子系は励起子状態$${| \nu \bm{K} \rangle }$$にあり, 光は$${\bm{k}}$$光子が$${n_{\bm{k}}}$$個ある状態$${| n_{\bm{k}} \rangle}$$をとる．また, 終状態$${f}$$としては$${\nu \bm{K}}$$励起子が放出され, $${\bm{k}}$$光子が１個吸収された状態をとる. 
従って, $${W_{\mathrm{em}}(\nu \bm{K},0)}$$は,

$$
\begin{align}
W_{\mathrm{em}} (\nu \bm{K},0)
&= \frac{2 \pi}{\hbar^2} \left| \langle n_{\bm{k}}+1, 0 | H_{exR}~^{'}(\mathrm{em}) | n_{\bm{k}},\nu \bm{K} \rangle \right|^{2} \delta(\omega_{\bm{k}} - \omega_{\nu \bm{K}}) \notag \\
&= \frac{\pi \hbar e^2 (n_{\bm{k}}+1)}{m^2 \epsilon_{0} V \omega_{k}} \left| \int \mathit{\Psi}_{0}~^{*} [\sum_{j} \exp(-i \bm{k} \cdot \bm{r_{j}}) \bm{e}_{\bm{k}} \cdot \nabla_{j}] \mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}} ~dv_{1} \cdots dv_{2N} \right|^2 \delta(\omega_{\bm{k}} - \omega_{\nu \bm{K}}) \notag \\
&= W_{\mathrm{em}}^{\mathrm{i}}(\nu \bm{K}, 0) + W_{\mathrm{em}}^{\mathrm{s}} (\nu \bm{K}, 0) \notag
\end{align}
$$

と求まる. ただし, 

$$
\begin{align}
&W_{\mathrm{em}}^{\mathrm{i}}(\nu \bm{K}, 0) \notag \\
&= \frac{\pi \hbar e^2 n_{\bm{k}}}{m^2 \epsilon_{0} V \omega_{k}} \left| \int \mathit{\Psi}_{0}~^{*} [\sum_{j} \exp(-i \bm{k} \cdot \bm{r_{j}}) \bm{e}_{\bm{k}} \cdot \nabla_{j}] \mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}} ~dv_{1} \cdots dv_{2N} \right|^2 \delta(\omega_{\bm{k}} - \omega_{\nu \bm{K}}) \notag \\
&= \frac{\pi  e^2 I_{\bm{k}}}{m^2 \epsilon_{0} \omega_{k}^{2} c} \left| \int \mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}}~^{*} [\sum_{j} \exp(i \bm{k} \cdot \bm{r_{j}}) \bm{e}_{\bm{k}} \cdot \nabla_{j}] \mathit{\Psi}_{0} ~dv_{1} \cdots dv_{2N} \right|^2 \delta(\omega_{\nu \bm{K}} - \omega_{\bm{k}}) \notag \\
&= W_{\mathrm{ab}} (0,\nu \bm{K})
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
&W_{\mathrm{em}}^{\mathrm{s}} (\nu \bm{K}, 0) \notag \\
&= \frac{\pi \hbar e^2 }{m^2 \epsilon_{0} V \omega_{k}} \left| \int \mathit{\Psi}_{0}~^{*} [\sum_{j} \exp(-i \bm{k} \cdot \bm{r_{j}}) \bm{e}_{\bm{k}} \cdot \nabla_{j}] \mathit{\Phi}^{0}_{\nu \bm{K}} ~dv_{1} \cdots dv_{2N} \right|^2 \delta(\omega_{\bm{k}} - \omega_{\nu \bm{K}}) \notag
\end{align}
$$

である. 

$${W_{\mathrm{em}}^{\mathrm{i}} (\nu \bm{K},0) }$$は$${W_{\mathrm{em}}}$$の中にある$${n_{\bm{k}}+1}$$のうちの$${n_{\bm{k}}}$$に由来し, 遷移の際に存在する光子数$${n_{\bm{k}}}$$, つまり光強度$${I_{\bm{k}}}$$に比例する. これによる輻射光の放出は誘導放出と呼ばれる. 誘導放出により生じた輻射光子の波数ベクトルと位相は, そこに存在して発光を引き起こした光子と同一である. 誘導放出はレーザーの動作に重要な役割を果たしており, その確率は光吸収の確立に等しいことが上式から分かる. 

$${W_{\mathrm{em}}^{\mathrm{s}} (\nu \bm{K},0) }$$は$${W_{\mathrm{em}}}$$の中にある$${n_{\bm{k}}+1}$$のうちの$${1}$$に由来し, これによる光放出を自然放出と呼ぶ. この遷移はそこに存在する光子に依存しないので, これによる光放出は光が全く存在しなくて起こる. 
したがって，励起状態から自然放出される輻射光は，エネルギ一保存以外は励起の原因となった入射光とは無関係で，一般には入射光に対してそのモードも位相も決まっていない. 普通程度の強度の光のもとでは，共鳴的に励起された励起状態からの発光は，ほとんど自然放出による発光である .

4. 輪講風景

今回の輪講は，
【発表言語】英語
【開催形式】対面・オンラインのハイブリッド（Temasを使用）
でした. 
対面の参加人数が普段より少なく寂しく感じましたが, 議論によって, 第２量子化などの手法について理解が深まりました. 
また, 英語で発表することは, やはり難しいです．ただ, 分からない単語や表現があっても, 馬場先生や浅野さんなどサポートしてくれるので安心して発表できました！

5. 最後に

今回の内容は, 場の理論や解析力学など理論的な内容が中心でした. 
私は, 第2量子化を初めてまともに勉強したので, 個人的には過去1番ハードな輪講準備でした.（笑）
研究室の浅野さんのサポートがなかったらと思うと, とても恐ろしい準備期間を過ごしたことでしょう…（浅野さんありがとうございます！）

また, 英語での発表も難しかったです.
適切に説明できていないこともあったかもしれませんが, 輪講に参加した研究室のメンバーが理解できていたようなので安心です！

光と物質の量子論研究室では, このような量子光学の理論研究を中心に様々な研究を行っております.
理論研究と聞くと, 数学的・物理的に難しいと思う方が多いかもしれませんが，その難しい内容を理解するために輪講があります！

ここまでお付き合い頂きありがとうございました！
またどこかでお会いしましょう.