『Cavity Polaritons』Chapter 1 ”Dispersion of Cavity Polaritons”
こんにちは！光と物質の量子論研究室（光りろん研） M1の坂田です！
光りろん研では、物質中の電磁波を量子化した準粒子「ポラリトン」の理解を目指し、量子光学の様々な文献を用いて輪講（Journal Club）を行っています。
今回は、Alexey Kavokinらによる『Cavity Polaritons』のChapter 1”Dispersion of Cavity Polaritons”について紹介します。
Chapter1
Chapter1では、以下の図に示すように量子井戸をBraggミラーで挟んだ共振器（マイクロキャビティ）の構造を考えます。量子井戸とBraggミラーそれぞれの光学的応答（反射係数、透過係数など）について導出し、転送行列法を用いてそれらを組み合わせて分散方程式を導出します 。
量子井戸
量子井戸（quantum well ; QW）とは、電子の移動方向が束縛された非常に薄い（ナノメートルスケール）半導体の層のことです 。この薄い層の中に電子と正孔が閉じ込められ、それらがクーロン力によって束縛された励起子（Exciton）が形成されます。励起子は、その共鳴周波数付近の光に対して非常に強く応答します 。
本節では、Maxwell方程式から出発して、共鳴周波数付近の光が量子井戸に入射したときの反射係数と透過係数を計算しています 。
このとき、励起子の光学特性を記述するために、単純な局所モデルではなく、以下のような非局所的な誘電応答理論 (non-local dielectric response theory) を用いています 。
$$
\begin{align*}
4\pi P_{\text{exc}}(z) &= \int_{-\infty}^{\infty} \chi(z, z')E(z')dz' \\\
\chi(z, z') &= \tilde{\chi}(\omega)\Phi(z)\Phi(z') \\\
\tilde{\chi}(\omega) &= \frac{Q}{\omega_0 - \omega - i\gamma}, \quad Q = \epsilon_B \omega_{LT} \pi a_B^3
\end{align*}
$$
これは、励起子が生成された点だけでなく、その波動関数が広がる範囲全体で分極が変化するという、より現実に即したモデルです 。
Braggミラー
Braggミラーとは、屈折率の異なる2種類の物質を、光の波長の1/4の厚さで交互に積み重ねた周期構造です 。
この周期構造により、特定の波長の光だけが非常に高い反射率で反射されるストップバンドが形成されます 。
マイクロキャビティにおいて、光を効率的に閉じ込めるための「鏡」として機能します。
マイクロキャビティとポラリトン
この系全体の振る舞いを記述するために、転送行列法 (transfer matrix method) が用いられます 。まず、量子井戸を横切る際の転送行列 $${T_{QW}}$$を定義します 。次に、この $${T_{QW}}$$とキャビティ内の光の伝播を表す行列を掛け合わせることで、キャビティ層全体の転送行列 $${T_c}$$を構築します 。
次に、共振周波数、すなわち外部からの入力なしでもキャビティ内に光が閉じ込められて振動し続けられる固有モードの周波数を求めます。
このとき重要なのは、光がキャビティ内部を一往復した際に、干渉条件を満たして自己再生的に存在できること、すなわち振幅と位相が完全に一致する（強め合う）条件です。この条件は、キャビティ内での光の伝播, 量子井戸での透過・反射, そしてBraggミラーによる反射の効果をすべて含めた境界条件として、分散方程式として表されます。
分散方程式は2つの結合した調和振動子の方程式として単純化されます 。
$${\left( \tilde{\omega}_0 - \omega - i\gamma \right)\left( \omega_c - \omega - i\gamma_c \right) = V^2}$$
強結合領域 (Strong Coupling Regime):
結合強度V が、光子と励起子それぞれの減衰率よりも大きい場合 、もはや光子と励起子は別々の粒子として存在できなくなります。両者が混ざり合った新しい準粒子、「ポラリトン」が形成されます 。実験では、元々の光子と励起子のエネルギーが一致する点で、2つのポラリトンのエネルギーが大きく分裂する「反交差（アンチクロッシング）」として観測されます。この分裂幅は「ラビ分裂」と呼ばれます 。
弱結合領域 (Weak Coupling Regime):
結合が弱い場合 、ポラリトンは形成されず、量子井戸は単に光の吸収・放出を促進するだけです。これは面発光レーザー（VCSEL）などで利用される領域です 。
偏光による分裂
光を斜めに入射させると、偏光によっても性質が変わります 。s偏光とp偏光で、結合の強さやエネルギーがわずかに異なり、これがポラリトンのさらに細かい性質を調べる手がかりになると述べられています 。
今回の内容は以上になります。最後までご覧いただきありがとうございました！
Chapter2以降では量子井戸が複数ある場合や共振器を複数並べた場合なども取り扱っていきます。次回もお楽しみに！！
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