第八回B4輪講　演習問題(2026/6/22)

先日行われた第八回B4輪講会は中村が担当しました. 教科書は例年通り, 越野和樹さんの「共振器量子電磁力学」を使用しています.

今回は入出力関係式,位相緩和などについて学習しました.
以下に演習問題を掲示します.

大問1:
次のようなハミルトニアンを考える。

$$
\hat{H} = {\frac{\omega_a}{2}\hat{\sigma}_z} + \int dk\ k\hat{d}_k^\dagger\hat{d}_k + \int dk\ k\hat{e}_k^\dagger\hat{e}_k
+ \int dk \sqrt{\frac{\gamma}{2\pi}}(\hat{\sigma}^\dagger\hat{d}_k + \hat{d}_k^\dagger\hat{\sigma}) \\
+ \int dk \sqrt{\frac{\gamma_p}{\pi}}\hat{\sigma}^\dagger\hat{\sigma}(\hat{e}_k + \hat{e}_k^\dagger)
$$

ここで、$${\hat{H}_S = \frac{\omega_a}{2}\hat{\sigma}_z}$$ は着目系のハミルトニアンであり、$${\gamma}$$ はエネルギー緩和レート、$${\gamma_p}$$ は位相緩和レートである。また、$${\hat{\sigma} = |0\rangle\langle 1|}$$ は下降演算子、$${\hat{\sigma}^\dagger = |1\rangle\langle 0|}$$ は上昇演算子である。
このハミルトニアンについて、任意の演算子の期待値の時間発展は次のように書ける

$$
\frac{d}{dt}\langle\hat{O}\rangle = i\langle[\hat{H}_S, \hat{O}]\rangle + \frac{\gamma}{2}\langle[\hat{\sigma}^\dagger, \hat{O}]\hat{\sigma} + \hat{\sigma}^\dagger[\hat{O}, \hat{\sigma}]\rangle+ \gamma_p\langle[[\hat{\sigma}^\dagger\hat{\sigma}, \hat{O}], \hat{\sigma}^\dagger\hat{\sigma}]\rangle
$$

この公式を用いて、$${\langle\hat{\sigma}\rangle}$$、$${\langle\hat{\sigma}^\dagger\hat{\sigma}\rangle}$$ の時間発展を求めてください。

大問2:
共振器の運動方程式を

$$
\dot{a}(t) = -\left( i\omega_c + \frac{\kappa}{2} \right) a(t) - i\sqrt{\kappa} b_{\text{in}}(t)
$$

とする．単色入力 $${b_{\text{in}}(t) = \beta e^{-i\omega t}}$$ を入れる．このとき定常解 $${a(t) = A e^{-i\omega t}}$$ を仮定して $${A}$$ を求めよ．また入出力関係式から反射係数

$$
r(\omega) = \frac{\beta_{\text{out}}}{\beta}
$$

を求めよ．ただし,

$$
b_{\text{out}}(t) = b_{\text{in}}(t) - i\sqrt{\kappa} a(t)
$$

$$
b_{\text{out}}(t) = \beta_{\text{out}} e^{-i\omega t}
$$

以上の問題を次回の発表者以外のB4の2人に割り振り, 来週解説してもらいます.