第七回B4輪講　演習問題(2026/6/15)

先日行われた第七回B4輪講会は和田が担当しました. 教科書は例年通り, 越野和樹さんの「共振器量子電磁力学」を使用しています.

今回は共振器QED, 真空Rabi分裂などについて学習しました.
以下に演習問題を掲示します.

大問1:
深強結合下でのエネルギー分裂は, 式(3.52)のとおり

$$
\varepsilon_{n,\pm} = n\omega_c \mp \frac{\omega_a}{2} I(n,\alpha)
$$

のように書ける. ただし, ラゲール多項式$${L_n(x)}$$を用いて

$$
I(n,\alpha) = \mathrm{e}^{-2\alpha^2} L_n(4\alpha^2)
$$

である. このグラフを縦軸$${ \varepsilon }$$, 横軸を$${ \Delta \omega }$$で書きなさい.

大問2:
2準位系の密度行列を

$$
\rho = \frac{1}{2}(I+ x\sigma_x +y\sigma_y +z\sigma_z)
$$

とかく. いま位相緩和だけが存在するとして, ジャンプ演算子を

$$
L = \sqrt{\frac{\gamma}{2}} \sigma_z
$$

とする. また2準位系の自由ハミルトニアンを$${ H = \frac{\omega_0}{2} \sigma_z }$$とする.
※運動方程式は以下の形になる.

$$
\dot{\rho} = -i[H,\rho] +L\rho L^\dagger -\frac{1}{2}\{L^\dagger L, \rho \}
$$

1. $${ \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} }$$を求めよ.
2. 初期状態が純粋状態だったとき, Bloch球上でどう運動するか説明せよ.

以上の問題を次回の発表者以外のB4の2人に割り振り, 来週解説してもらいます.