第五回B4輪講　演習問題(2026/6/1)

先日行われた第五回B4輪講会は川口が担当しました. 教科書は例年通り, 越野和樹さんの「共振器量子電磁力学」を使用しています.

今回はRabi振動, 着衣状態, 共振器QEDの導入について学習しました.
以下に演習問題を掲示します.

大問1：
　2つの独立した1量子ビット系A, Bからなる2量子ビット系を考える. 系A, Bの基底ベクトルをそれぞれ$${ \{ |0\rangle_{A}, |1\rangle_A \} }$$, $${ \{ |0\rangle_{B}, |1\rangle_{B} \} }$$とする. 全体の複合系の状態空間は, テンソル積$${ \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B }$$によって構成され, その基底は$${ \{ |00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle \} }$$で表される（ただし$${ |ij\rangle = |i\rangle_{A} \otimes |j\rangle_B }$$）. もし複合系の状態$${ |\Psi\rangle }$$が, それぞれの系の独立した状態のテンソル積として
$${ |\Psi\rangle = |\psi\rangle_A \otimes |\phi\rangle_B }$$
の形に書けるとき, この状態を積状態（Product state）と呼ぶ.

問1：以下の状態$${ |\Phi^{+} \rangle }$$を考える.
$${ |\Phi^{+} \rangle = \frac{1}{ \sqrt{2} }(|00\rangle + |11\rangle) }$$
この状態$${ |\Phi^{+} \rangle }$$は, どのような1量子ビット状態$${ |\psi\rangle_A = \alpha |0\rangle_A + \beta |1\rangle_A }$$（ただし$${ |\alpha|^2+|\beta|^2 = 1 }$$）および$${ |\phi\rangle_B = \gamma |0\rangle_B + \delta |1\rangle_B }$$（ただし$${ |\gamma|^2 + |\delta|^2 = 1 }$$）を用いても, テンソル積の形で表せないことを示せ.

問2：$${ |\Phi^{+}\rangle }$$は量子もつれ状態といわれる. これを説明してください.
*ヒント*系Aのみを測定し, その結果が$${ |0\rangle_A }$$または$${ |1\rangle_A }$$であったとき, その直後に系Bの状態がどのように決定されるか考える. 測定の射影演算子$${ \hat{P}_0 = |0\rangle_A \langle 0|_A \otimes \hat{I}_B }$$などを用いる.

大問2：
実験室系のハミルトニアンを
$${ H(t) = \frac{\hbar \omega_0}{2}\sigma_z + \hbar \Omega \cos(\omega_L t)\sigma_x }$$
とする. ここで回転座標変換$${ U(t) = \exp(i \frac{\omega_L}{2} t \sigma_z) }$$を使って, 回転座標系の状態を
$${ |\tilde{\psi(t)}\rangle = U(t)|\psi(t)\rangle }$$
として定義する. このとき有効ハミルトニアンが
$${ \tilde{H} = UHU^\dagger + i\hbar \dot{U} U^\dagger }$$
と表せることを示せ. また高速振動項を捨てることで有効ハミルトニアンが以下のようになることを示せ.
$${ \tilde{H} = \frac{\hbar (\omega_0 - \omega_L)}{2} \sigma_z + \hbar\Omega\sigma_x }$$
※有効ハミルトニアンはシュレーディンガー方程式$${ i\hbar\frac{d}{dt}|\tilde{\psi}(t)\rangle = \tilde{H}|\tilde{\psi}(t)\rangle }$$から求める.

以上の問題を次回の発表者以外のB4の2人に割り振り, 来週解説してもらいます.