第九回B4輪講　演習問題(2026/6/29)

先日行われた第九回B4輪講会は日沼が担当しました. 教科書は例年通り, 越野和樹さんの「共振器量子電磁力学」を使用しています.

今回は「緩和のある系での真空Rabi振動」, 「Purcell効果」, 「位相緩和と量子ゼノ効果」などについて学習しました.
以下に演習問題を掲示します.

大問1
次のような外力が働く系の微分方程式を考える.

$$
\frac{d^2 x(t)}{dt^2} + 3\frac{dx(t)}{dt} + 2x(t) = f(t)
$$

ただし, 外力$${ f(t) }$$は$${ t=0 }$$から$${ t=2 }$$までの間だけ一定の力が働き, それ以降は力がゼロになる外力であり, 階段関数$${ u(t) }$$を用いて以下のように表される.
$${ f(t) = 2 - 2u(t-2) }$$
また, 初期条件は$${ t=0 }$$で$${ x=0 }$$かつ$${ \frac{dx}{dt}=0 }$$とする.

(1) $${ x(t) }$$のラプラス変換を$${ X(s) }$$とする. 微分方程式の両辺をラプラス変換し, $${ X(s) }$$を$${ s }$$の式で表せ.

(2) (1)でえられた式の1部分を$${ H(s) = \frac{2}{s(s^2 + 3s +2)} }$$とおく. $${ H(s) }$$を部分分数分解し, その逆ラプラス変換$${ h(t) = \mathcal{L}^{-1} [H(s)] }$$を求めよ.

(3) 定理$${ \mathcal{L}^{-1}[H(s)e^{-as}] = h(t-a)u(t-a) }$$を用いて, (1)で求めた$${ X(s) }$$の逆ラプラス変換$${ x(t) }$$を求めよ.

大問2
原子－共振器の1励起部分空間を擬スピンとして扱い,$${ |e,0\rangle \equiv |\uparrow \rangle, |g,1\rangle \equiv |\downarrow\rangle }$$とする.共鳴条件($${ \omega_a = \omega_c }$$)で有効ハミルトニアンを$${ H=\hbar g \sigma_x }$$とし, 位相緩和を$${ L=\sqrt{\frac{\gamma_\phi}{2}}\sigma_z }$$で表す. また密度行列を$${ \rho = \frac{1}{2}(I + x\sigma_x + y\sigma_y + z\sigma_z) }$$とかく.
※$${ \dot{\rho} = -i[H,\rho] + L \rho L^\dagger - \frac{1}{2}\{ L^\dagger L, \rho \} }$$

(1) $${ y,z }$$に関する微分方程式を求めよ.
(2) $${ \gamma_\phi >> g }$$のとき, $${ y }$$が非常に速く減衰する($${ \dot{y}\simeq 0 }$$)として, $${ y }$$を$${ z }$$で表せ.
(3) 有効減衰率が$${ \Gamma_{eff} = \frac{4g^2}{\gamma_\phi} }$$となることを示せ($${ \dot{z}=-\Gamma_{eff} z, z = P_e - P_g }$$)
(4) $${ z(0)=1, P_e+P_g = 1 }$$として励起/基底状態の確率$${ P_e, P_g }$$を求めよ.

以上の問題を次回の発表者以外のB4の2人に割り振り, 来週解説してもらいます.