Quantum theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors

はじめに

2024年度秋学期第二回のM1輪講を担当する光と物質の量子論（光りろん）研究室M1の中尾です。秋学期の輪講では、量子光学の様々な文献を通して、物質中の電磁波を量子化した準粒子「ポラリトン」の理解を目指します。対象文献は "Quantum theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors[1]" であり、第１章 “Oscillator Model” を学習しました。本章では、以下の3点に焦点を当て、電気分極に対する共振器モデルを用いて光と物質の相互作用を定量的に理解することを目標としています。

• 光学感受率

• 吸収と屈折

• 遅延グリーン関数

[1] Hartmut Haug (Goethe-Universität Frankfurt, Germany) and Stephan W Koch (Philipps-Universität Marburg, Germany) , "Quantum theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors", pp. 1-15, January 2009
https://doi.org/10.1142/7184

1. 光学感受率

光学感受率は、物質が電磁波にどのように応答するかを記述する重要な物理量です。以下、1.1節では、ニュートンの運動方程式に基づき、物質中の電子が外部電場に応答するモデルについて考察します。1.2節では、媒質の屈折率（実部）と吸収係数（虚部）の間の関係を記述するKramers–Kronigの関係式について学びます。

1.1 光学感受率

電子が正電荷を帯びたイオンによるクーロンポテンシャル中に束縛されていると仮定した誘電体媒質を古典的描像で考えます。媒質中の電磁波の波数ベクトルに対して電場が垂直であると考え、束縛されている電荷の位置がその電場の印加によって微小に変位し、それに起因して電気分極が生じます。ここでは、分極$${\mathcal{P}}$$と電場$${\mathcal{E}}$$の間の線形関係を記述する光学感受率$${\chi}$$の導出を行います。

分極は、$${x}$$方向の電場によって、平衡位置から電子が$${x}$$だけ変位することで発生し、単位体積あたりの双極子モーメントとして

$$
\begin{equation}
\mathcal{P} = \frac{P}{L^3} = n_{0} e x
\end{equation}
$$

と定義されます。
ここで、$${e}$$は電荷素量、$${n_0}$$は単位体積あたりの平均電荷密度です。

次に、減衰駆動振動子として、電場$${\mathcal{E}(t)}$$（$${x}$$に平行）の影響下での電子の運動は、ニュートンの運動方程式を用いて次のように記述されます。

$$
\begin{equation}
m_{0} \frac{d^{2} x}{dt^{2}} = -2m_{0} \gamma \frac{ d x }{ d t } -m_{0} \omega_{0}^{2} + e \mathcal{E}(t)
\end{equation}
$$

ここで、$${\gamma}$$は減衰定数、$${m_{0}, \omega_{0}}$$はそれぞれ振動子の質量、共振角周波数とします。

ここで、電場は角周波数$${\omega}$$の単色であると仮定すると、

$$
\begin{equation}
\mathcal{E}(t) = \mathcal{E} (\omega) e^{-i \omega t}
\end{equation}
$$

と表され、実部を取ることで実際の電場が得られます。同様に、変位$${x(t)}$$も

$$
\begin{equation}
x(t) = x(\omega) e^{-i \omega t}
\end{equation}
$$

と表現します。これらを運動方程式に代入し、$${x(\omega)}$$の式に分極の定義（式(1)）を用いると、分極$${\mathcal{P}(\omega)}$$と電場$${\mathcal{E}(\omega) }$$の複素係数$${\chi(\omega)}$$は

$$
\begin{equation}
\chi(\omega) = - \frac{n_{0} e^{2} }{ 2 m_{0} \omega'_{0}} \left( \frac{1}{\omega - \omega'_{0} + i \gamma } - \frac{1}{\omega + \omega'_{0} + i \gamma } \right)
\end{equation}
$$

と導かれます。なお、減衰による繰り込み角周波数$${\omega'_{0}}$$は

$$
\begin{equation}
\omega'_{0} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2} }
\end{equation}
$$

と定義されます。

1.2 Kramers-Kronigの関係式

Kramers-Kroningの関係式は、媒質の屈折率（実部）と吸収係数（虚部）の間の関係を記述するものです。これにより、ある周波数範囲での吸収スペクトルの情報から、他の周波数範囲での屈折率の振る舞いを推定できます。
ここでは、電場と分極の線形応答を因果律に基づいて記述することで、Kramers–Kronigの関係式を導出します。

電場による分極の線形応答は、

$$
\begin{equation}
\mathcal{P}(t) = \int_{-\infin}^{t} dt'\ \chi(t, t') \mathcal{E}(t')
\end{equation}
$$

と表されます。ここで、$${\mathcal{P}(t)}$$と$${\mathcal{E}(t)}$$は実数であるので、応答関数$${\chi(t, t')}$$も同様に実数です。因果律より、時刻 $${t}$$ より未来の電場がその時刻の分極に影響を及ぼしてはならないため、変数変換

$$
\begin{equation}
T = \frac{t+t'}{2}, ~ \tau = t-t'
\end{equation}
$$

を行います。系が平衡状態にある場合、$${\chi(T, \tau)}$$は$${T}$$には依存せず、$${\tau}$$のみの関数となるため、

$$
\begin{equation}
\mathcal{P}(t) = \int_{- \infin}^{t} dt'\ \chi(t-t') \mathcal{E}(t') 
=\int_{0}^{\infin} d\tau\ \chi(\tau) \mathcal{E}(t-\tau)
\end{equation}
$$

と書けます。これをフーリエ変換して角周波数空間に変換します。

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{P}(\omega) &= \int_{0}^{\infin} d\tau\ \chi(\tau) e^{i \omega \tau}  \int_{-\infin}^{+ \infin} dt\ \mathcal{E}(t-\tau) e^{i \omega (t - \tau)} \\
&= \chi(\omega) \mathcal{E}(\omega)
\end{aligned}
\end{equation}
$$

ただし、

$$
\begin{equation}
\chi(\omega) =  \int_{0}^{\infin} d\tau\ \chi(\tau) e^{i \omega \tau} 
\end{equation}
$$

$${\chi(t)}$$は２つの実数$${\mathcal{E}(t), \mathcal{P}(t) }$$を繋ぐ応答関数であり、実関数である必要があります。また、角周波数の虚部が$${\omega'' \geq0}$$のとき$${\chi(\omega)}$$は正則関数となります。（$${e^{- \omega'' \tau}}$$によって、上側の境界（$${\tau \to \infin}$$）で積分を０にするから）

$${\chi(\omega)}$$は実角周波数において正則関数なので、Cauchyの関係式（留数定理）を用いて、

$$
\begin{equation}
\chi(\omega) = \int_{- \infin}^{+ \infin} \frac{d\nu}{2 \pi i} \frac{\chi(\nu)}{\nu - \omega -i \delta}, 
\end{equation}
$$

（$${\delta}$$は正の無限小数）と表せ、Diracの恒等式を用いて評価できます。

$$
\begin{equation}
\lim_{\delta \to 0} \frac{1}{\omega - i \delta} = P \frac{1}{\omega} + i \pi \delta(\omega)
\end{equation}
$$

$${P}$$はCauchyの関係式を用いたときの積分の主値。この恒等式により、$${\chi(\omega)}$$は、

$$
\begin{equation}
\chi(\omega) = P \int_{- \infin}^{+ \infin} \frac{d\nu}{i \pi} \frac{\chi(\nu)}{\nu - \omega}
\end{equation}
$$

と表されます。また、$${\chi(\omega)}$$を実部$${\chi'(\omega)}$$と虚部$${\chi''(\omega)}$$に分けると、

$$
\begin{equation}
\chi' (\omega) = P \int_{- \infin}^{+ \infin} \frac{d\nu}{\pi} \frac{\chi''(\nu)}{\nu - \omega}
\end{equation}
$$

$$
\begin{equation}
\chi'' (\omega) = -P \int_{- \infin}^{+ \infin} \frac{d\nu}{\pi} \frac{\chi'(\nu)}{\nu - \omega}
\end{equation}
$$

と書けます。$${\chi''(\omega) = - \chi''(-\omega) }$$であることから、

$$
\begin{equation}
\chi' (\omega) = P \int_{0}^{+ \infin} \frac{d\nu}{\pi} \chi''(\nu) \frac{2\nu}{\nu^{2} - \omega^{2}}
\end{equation}
$$

が得られ、これをKramers-Kroningの関係式と呼びます。この関係式によって、虚部$${\chi''(\omega)}$$がすべての正の角周波数で分かっているならば、実部$${\chi'(\omega)}$$を計算することが出来ます。実験などでは、$${\chi''(\omega)}$$は有限範囲でのみ分かることが多く、Kramers-Kroningの関係式を使う際は注意が必要です。

2. 吸収と屈折

この節では、物質が電磁波（光）にどのように応答するかを示す光学誘電関数$${\epsilon(\omega)}$$を導入し、これを用いて屈折率$${n(\omega)}$$や吸収係数$${\alpha(\omega)}$$を求めます。

2.1 光学誘電関数

変位電場$${ D(\omega) }$$は、分極$${  \mathcal{P}(\omega) }$$と電場$${\mathcal{E}(\omega) }$$の関係から

$$
\epsilon(\omega) = 1 + 4 \pi \chi(\omega)
$$

と定義され、先に導出した$${\chi(\omega)}$$の結果を用いると、

$$
\begin{equation}
\epsilon(\omega)= 1 - \frac{\omega_{pl}^2}{2 \omega_{0}^{'}} \left( \frac{1}{\omega - \omega_{0}^{'} + i \gamma} - \frac{1}{\omega + \omega_{0}^{'} + i \gamma} \right)
\end{equation}
$$

となります。ここで、プラズマ角周波数$${\omega_{pl}}$$は

$$
\begin{equation}
\omega_{pl} = \sqrt{ \frac{4 \pi n_{0} e^{2} }{m_{0}} }
\end{equation}
$$

と定義され、電子プラズマの固有角周波数を表します。また、$${\epsilon(\omega)}$$は極$${\omega_{\pm} = \pm \omega^{'}_{0} -i \gamma}$$を持ち、この極は、それぞれ共鳴部分（$${\omega_{+}}$$）と非共鳴部分（$${\omega_{-}}$$）に対応することが示唆されます。
$${\frac{1}{\omega - \omega_{0}^{'}}}$$の項が共鳴部分に対応するという意味です。

2.2 屈折率と吸収係数

光学誘電関数の議論を簡単にするために、以下の条件を仮定します。

• 共鳴部分$${\omega_{+}}$$のみを考慮する。

• $${\omega \gg \gamma \to \omega_{0} \simeq \omega^{'}_{0}}$$

この条件下で、光学誘電関数$${\epsilon(\omega)}$$の実部$${\epsilon'(\omega)}$$と虚部$${\epsilon~{''}(\omega)}$$はそれぞれ

$$
\begin{align}
\epsilon'(\omega) = 1 - \frac{\omega^{2}_{pl}}{2 \omega_{0}} \frac{\omega-\omega_{0}}{ (\omega - \omega_0)^2 + \gamma^2}, \\
\epsilon''(\omega) =  \frac{\omega^{2}_{pl}}{4 \omega_{0}} \frac{2 \gamma}{ (\omega - \omega_0)^2 + \gamma^2}.
\end{align}
$$

と求まります（回転波近似とよばれる近似に相当します）。ここで、実部$${\epsilon'(\omega)}$$と虚部$${\epsilon~{''}(\omega)}$$の物理的意味を理解するために、光ビームが誘電体媒質中をどのように伝播するかを考えます。
①Maxwell方程式と②伝搬方向が$${z}$$方向に限定されることを用いると、屈折率$${n(\omega)}$$と吸収係数$${\alpha(\omega)}$$は、光学誘電関数を用いて、

$$
\begin{align}
n(\omega) = \sqrt{ \frac{1}{2} [\epsilon^{'}(\omega) + \sqrt{\epsilon'^{2}(\omega) + \epsilon''^{2}(\omega)} ] }, \\
\alpha(\omega) = \frac{\omega}{n(\omega)c} \epsilon''(\omega).
\end{align}
$$

と表されます。

3. 遅延グリーン関数

3章では、グリーン関数を用いた非同次微分方程式の解法について学びます。1章では運動方程式から直接時間発展を求めましたが、ここでは遅延グリーン関数 $${G(t-t')}$$ を用いて解を導出します。

運動方程式（再掲）

$$
\begin{equation}
m_{0} \frac{d^{2} x}{dt^{2}} = -2m_{0} \gamma \frac{ d x }{ d t } -m_{0} \omega_{0}^{2} + e \mathcal{E}(t) \tag{2}
\end{equation}
$$

に対して、遅延グリーン関数$${G(t-t')}$$を

$$
\begin{equation}
m_{0} \left( \frac{d^{2}}{dt^{2}}  + 2 \gamma \frac{ d }{ d t } - \omega_{0}^{2} \right) G(t-t')= \delta(t-t') 
\end{equation}
$$

と定義します。この$${G(t-t')}$$に関する式をフーリエ変換すると、式(2)の運動方程式に対するグリーン関数が次のように求まります。

$$
\begin{equation}
G(\omega) = -\frac{1}{2m_0 \omega^{'}_{0}} \left( \frac{1}{\omega - \omega_{0}^{'} + i \gamma} - \frac{1}{\omega + \omega_{0}^{'} + i \gamma} \right)
\end{equation}
$$

$${ G(t-t') }$$に関して、運動方程式の解は

$$
\begin{equation}
x(t) = \int_{-\infin}^{+\infin} dt' G(t-t') e \mathcal{E}(t')
\end{equation}
$$

となり、式(26)を式(2)に代入することで確認できます。式(26)をフーリエ変換して、

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
x(\omega) & = \int_{-\infty}^{+\infty} dt \int_{-\infty}^{+\infty} dt' e^{i \omega (t - t')} G(t - t') e^{i \omega t'} e \mathcal{E}(t') \\
& = e G(\omega) \mathcal{E}(\omega)
\end{aligned}
\end{equation}
$$

となります。分極は

$$
\mathcal{P} = e n_{0} x(\omega) = \chi(\omega) \mathcal{E}(\omega)
$$

であるため、

$$
\begin{equation}
\chi(\omega) = n_{0} e^2 G(\omega)
\end{equation}
$$

となり、式(25)を代入して、

$$
\begin{equation}
\chi(\omega) = - \frac{n_{0} e^{2} }{ 2 m_{0} \omega'_{0}} \left( \frac{1}{\omega - \omega'_{0} + i \gamma } - \frac{1}{\omega + \omega'_{0} + i \gamma } \right)
\end{equation}
$$

を得て、先に示した1章の$${\chi(\omega)}$$の式と一致することが確認されます。

まとめ

今回の輪講では、まず1章において光学感受率$${\chi(\omega)}$$の導出を通じ、分極$${\mathcal{P}(\omega)}$$と電場$${\mathcal{E}(\omega)}$$の間の関係を定量的に理解しました。次に、2章ではこの光学感受率を光学誘電関数$${\epsilon(\omega)}$$に拡張し、屈折率$${n(\omega)}$$および吸収係数 $${\alpha(\omega)}$$の物理的意味について考察しました。さらに、3章では遅延グリーン関数を用いて非同次微分方程式の解法を学び、1章での結果との整合性を確認しました。これらの内容は、ポラリトンの理解に向けた基礎となる重要な知見を提供するものです。

ポラリトンの理解に向けて

屈折率$${n(\omega)}$$と吸収係数$${\alpha(\omega)}$$を通して、ポラリトンを議論することができます。今回学んだ、光学感受率$${\chi(\omega)}$$と光学誘電関数$${\epsilon(\omega)}$$の導出は、秋学期のM1輪講の目的であるポラリトンの理解に必要な基礎知識の取得につながります。