円周率を求めよ！Excelを使って自分で導く3.14（Excel初心者OK）

円周率…それは 3.14159･･･と終わりなく続く数字で、学校では 3.14 と丸めて覚えます。でもこれは単なる暗記用の数字ではなく、円を表す基本的な定義から求められた数字です。

今回は円周率の定義を確認し、さらに歴史的に有名な求め方をざっと見たうえで、その中でもExcelで簡単に試せるモンテカルロ法を使って 実際に自分の手で円周率を求めてもらいます。

後半では、すぐに試せるExcelファイルもダウンロードできる ので、これを読めば子供にはもちろん、誰かにドヤれますよ！
　

✔︎ そもそも円周率とは何？

それは、円の周の長さを直径で割った値のことです。

$$
円周率(\pi) = 円周÷直径
$$

たとえば直径1メートルの円の円周は、約3.14メートル。
どんな大きさの円でも、この比率は変わりません。

なぜかというと、円は大きさが違っても形は同じ（相似な図形）だからです。相似な図形では、長さどうしの比は常に一定になります。そのため、円周と直径の比も必ず同じになり、この普遍的な比が円周率と呼ばれています。

さらにこの円周率は、円の面積にもつながります。

半径 $${r}$$ の円を、あり得ないくらい細かい扇形に切り分けて交互に並べると、平行四辺形に近い形ができます。

この底辺は円周の半分で $${\pi r}$$、高さは半径 $${r}$$ になります。

よって、面積は

$$
(\pi r) \times r = \pi r^2
$$

となり、よく知られた円の面積の公式が導かれます。
　

✔︎ その円周率の求め方は？

古代から現代まで、さまざまな方法でチャレンジされてきました。その歴史をざっと振り返ると、次のような代表例があります。

1. アルキメデス法
   円に内接・外接する多角形の周の長さを使って、円周率をはさみうちにする方法。六角形から始め、辺の数を倍々に増やしていくと、円にどんどん近づきます。

2. ライプニッツ級数

   • $${\pi = 4 \left( 1 - \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{7} + \cdots \right)}$$

   • とてもシンプルな公式ですが、収束が遅いため実用には向きません。

3. マチンの公式

   • $${\pi = 16 \arctan\left(\tfrac{1}{5}\right) - 4 \arctan\left(\tfrac{1}{239}\right)}$$

   • 逆三角関数を利用することで効率的に円周率を計算でき、コンピューターが登場する以前にはよく使われました。

4. 高精度アルゴリズム

   • ガウス＝ルジャンドル法：古典的ですが非常に効率の良い計算法。

   • チュドノフスキー法：現代の円周率計算記録に使われる超高速級数。

   • BBP公式：円周率の特定の桁を直接求められる画期的な公式。

5. モンテカルロ法
   ランダムな点が円の中に入る確率から円周率を推定する方法。理論的には精度は試行回数に依存しますが、実験感覚で楽しめる のが大きな魅力です。

数ある方法の中から、今回はこの モンテカルロ法 を取り上げます。

なぜなら、Excelを使えば簡単に体験でき、数字が苦手な人でも『自分で円周率を求めた！』という経験を得られるからです。
　

✔︎ どのようにExcelで求めるのか？

方法はとてもシンプルです。