学習日記（はじめての数論8章） #32（2025/07/23）

　本日は，数学書「Silverman, Joseph H．はじめての数論　原著第4版．鈴木治郎訳．」の8章を読みました．「素数pについて，主係数がpの倍数でない整数係数多項式f(x)≡0 (mod p)は互いに合同でないd個以下の解を持つ」というような定理があり，その証明を読み解きつつ，texでまとめました．
　ちなみに，この章の読解に10日くらいかかってます．想像ですが，この本の読者の平均読み解きスピードにくらべたら，絶対遅いと思います．ちょっと泣きそうになります．ですが，人と比べても幸せになれないという信念を持ち出して，精神に平穏を取り戻すのが，日課になっています．
　この定理の証明は，教科書では背理法でごりごりしていたのですが，Geminiに聞くと，「有限体 Z/pZ 上の多項式の根の数」がなんたらかんたらと言い出して，うわー初等数論じゃなくて代数学入っちゃってるよー，よくわからないけど，こことここつながってるんだーうれしー，という気持ちになりました．
　それから背理法さんとここまで深く遊んだことなかったのですが，証明したい命題について，否定命題を演繹を進めて矛盾を導くことで，否定命題は偽，その否定，つまり元の命題は真，という，トリッキー感がある証明法で，まじめに考えると記号論理の話がもりもりしていてめちゃくちゃ納得感で嬉しいのと，今までの自分の背理法が適当すぎたことに気づきました．あと，全称量化「∀x,P(x)」が「P(x_1) ∧ P(x_2) ∧ … 」と同値だということを認識して，その否定が「∃x,¬P(x)」であることがめっちゃ納得できて最高でした．
　こんな感じで以上です．毎日noteが#32も進んで，品質はどうあれ自分が生み出したコンテンツが，こんなに増えたー，継続ってすげーと達成感が生まれてます．読んでくださりありがとうございましたー，それでは．