【50代主婦の統計学】難しそうな式ほど、シンプルに考える。確率と変数変換で見えてきた「解き方の型」

こんにちは、おかわりです。

8月16日（日）。

今日も統計検定2級の問題集、2周目の続きです。

取り組んだのは、昨日に引き続き「確率分布」。

二項確率の比、2つの確率変数の差、そして線形変換をしたときの共分散と相関係数。

文字だけ並べると、なかなか手強そうなラインナップです。

しかも今日は昼下がり。

眠い。

途中で中断もあり。

決して「集中力MAXで一気に駆け抜けました！」という感じではありません（笑）。

それでも問題をひとつずつ見ていくうちに、

難しそうな式を、難しそうなまま相手にしなくてもいい

ということが、少しずつ見えてきました。

階乗だらけの式、本当に全部変形する必要ある？

まず出てきたのが、二項確率の比を求める問題。

式には「！」がずらずら。

階乗です。

もちろん、文字式をきちんと変形して解くこともできます。

でも試験中にこの式を見て、一から丁寧に整理していたら、それなりに時間がかかります。

そこで使えるのが、具体的な数字を入れて確かめる方法。

たとえば x＝0 など、計算しやすい値を入れて選択肢を比べてみる。

すると、複雑だった文字式が一気に普通の計算になります。

「そんな解き方でいいの？」

とも思いますが、選択肢から正しいものを選ぶ問題なら、これも立派な解き方。

数学として式を理解することと、試験で効率よく正解にたどり着くこと。

両方持っておいて、問題によって使い分ければいいんですね。

全部を正面突破しなくてもいい。

これは本番でも覚えておきたいところです。

「今年が去年より800円高い」を数式に翻訳する

次は、2つの確率変数の差を考える問題。

文章では、

「今年の料金Xが、去年の料金Yより800円以上高くなる確率」

のように書かれています。

こういう文章を見ると、一瞬「何をすればいいんだ？」となります。

でも、まず日本語を数式にしてみる。

X − Y ≧ 800

これだけで、ずいぶん見慣れた姿になりました。

ここから平均と分散を求めて標準化すれば、いつもの正規分布の問題に持っていけます。

文章題をそのまま眺め続けるのではなく、

日本語 → 数式 → 知っている解法

と変換する。

この流れが少しずつ身についてきた気がします。

引き算なのに、分散は足す

ここで、ちょっとややこしいのが分散です。

X−Yなのだから、分散も引き算したくなります。

でも、XとYが独立なら、

V(X−Y)＝V(X)＋V(Y)

になります。

引き算なのに足し算。

最初は引っかかりやすいところです。

でも考えてみれば、XにもYにもそれぞれ「ばらつき」があります。

2つの不確実なものを組み合わせれば、差を取ったからといって、その不確実さまで打ち消されるわけではない。

むしろ、それぞれのばらつきが効いてきます。

そう考えると、

「引き算なのに、分散は足す」

というルールも、少し覚えやすくなりました。

※もちろんこれはXとYが独立な場合。独立でなければ共分散も関係してくるので、そこは要注意です。

そして今日の本丸、変数変換

今日いちばん整理できたのが、線形な変数変換です。

たとえば、

U＝aX＋b

V＝cY＋d

のように、元のXとYを変換したとき。

共分散や相関係数はどうなるのか。

解説にはいろいろな記号も出てきます。

一瞬、

「うわ、難しくなった」

と思うのですが、AIと一緒に整理してみると、見るべきところは意外と少ないことが分かりました。

足した数字は、ばらつきには関係ない

まず、＋bや＋dの部分。

これはデータ全体を同じだけ横にずらしているだけなので、ばらつき方そのものは変わりません。

だから共分散を考えるときも、定数部分は無視できます。

残るのは、XやYに掛かっている係数。

共分散なら、

Cov(U,V)＝ac Cov(X,Y)

になります。

つまり、

掛けたものは効く。足したものは効かない。

こう覚えると、ずいぶんシンプルです。

相関係数は、もっと面白い

さらに面白かったのが相関係数。

データ全体を2倍、3倍にしても、2つの変数の「一緒に動く強さ」そのものは変わりません。

だから基本的には、尺度を変えても相関係数の大きさは同じ。

ただし、片方だけにマイナスを掛ければ、向きがひっくり返ります。

右上がりだった関係が右下がりになるので、相関係数の符号も反転する。

ここまでイメージできると、複雑な公式を丸ごと覚えるより、

「データをずらしたらどうなる？」
「引き伸ばしたらどうなる？」
「ひっくり返したらどうなる？」

と考えたほうが分かりやすい。

解説に難しそうな記号が出てきても、まずは変数に何が起きているのかを見る。

今日の大きな収穫は、ここでした。

AIと一緒に、難しい式を「普通の言葉」に戻す

最近の2周目では、AIへの質問も、

「この公式を教えて」

より、

「なんでこうなるの？」

が増えてきました。

今日も、共分散や相関係数の変換を、公式だけで覚えようとすると少しややこしい。

でも、

「全員に100円ずつ足しても、ばらつき方は変わらないよね」

「片方をマイナス倍したら、グラフの向きが反対になるよね」

と普通の言葉や図のイメージに戻して考えると、式の意味が見えてきます。

AIがいると、分からない記号をその場で聞けるだけではなく、

「もっと普通の言葉で考えると、これは何をしているの？」

と何度でも聞き直せる。

私には、この使い方がかなり合っているようです。

眠くても、今日もちゃんと進んだ

今日は昼下がりの眠気もあり、途中で中断もあり。

ものすごくたくさん問題を解いた日ではありません。

でも、

階乗だらけの式は、場合によっては具体的な数字を入れてシンプルにする。

文章題は、まず数式に翻訳する。

X−Yでも、独立なら分散は足す。

変数変換では、足した定数はばらつきに影響しない。

相関係数は、尺度を変えても関係の強さは変わらない。

バラバラに見えたルールが、少しずつ「なぜそうなるのか」と一緒に整理できました。

2周目に入ってから何度も感じていますが、

覚える公式が増えているというより、公式を覚える量が減っている

ような気がします。

仕組みが分かれば、そこから自分で戻ってこられるから。

まだ本番で全部スッと使えるかは分かりません。

でも、丸暗記だけで進んでいたところからは、少し先へ進めたかな。

今日も一歩。

明日も続きを進めます。

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