【数学】三角関数の合成

対象：定期試験以上

今回は　三角関数の合成　について理解しましょう

三角関数の合成は　加法定理の逆算　となります

使えるときは　$${a\sin \theta +b\cos \theta 　 (\sin \theta \ と\ \cos \theta \ の一次結合)}$$　のときです
双方1次であり　角の部分が共通であることが必要です

$${\alpha}$$が具体的な角でわからないときは
とりあえず　$${\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)}$$　とかき
但書きのように　$${\cos \alpha \ と\ \sin \alpha}$$の値を書くまでがセットです

さて　上記の①のみでOK　ということで　実際に$${\sin }$$に合成してみましょう
角度$${\alpha}$$を　$${-\dfrac{\pi}{2}\leqq \alpha \leqq \dfrac{\pi}{2}}$$　の範囲で合成するやり方です

加法定理の逆　という観点から言えば
まず式全体を斜辺の長さ2でくくってから
$${2\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta+\dfrac{1}{2}\cos \theta\Big)}$$
$${　=2\Big(\cos \dfrac{\pi}{6}\sin \theta+\sin \dfrac{\pi}{6}\cos \theta\Big)}$$
$${　=2\sin\Big(\theta +\dfrac{\pi}{6}\Big)}$$
となりますが　機械的に上の様な三角形を考えて合成してよいです

問題によっては「$${A\cos (\theta +\alpha)}$$の形で答えよ」や「$${A>0}$$として答えよ」など条件が指定される場合がありますが
その際には　上の方法で合成した後に

を用いて$${\sin }$$と$${\cos }$$をチェンジしたり

を用いて係数の正負をチェンジして調整すればOKとなります

今回はここまで