【数学】位置ベクトルの概念，一次独立

対象：定期試験以上

今回は，位置ベクトルのお話です(問題は無し)
そもそも「位置ベクトル」とは何かと言えば

点の「位置」をベクトルで表したもの

ということになります

新しい概念・・・？？

今まで点の位置は座標で表してきました
座標というものは2つの数の組$${(x，y)}$$で表し
原点から$${x}$$方向にいくつ，$${y}$$方向にいくつ移動した点であるか
で表していたんですが
図のように点P$${(5，4)}$$があり
$${\vec{e_1}}$$，$${\vec{e_2}}$$をおくと
$${\vec{p} = 5\vec{e_1}+4\vec{e_2}}$$
と表すことができます

座標は原点を基準点としたベクトルです

つまり

今までずーっとベクトルで考えていた

ということです
既に使ってきている考えをもうちょっと拡張させようというお話です

さて，2点の位置関係を考えるとき，必ずしも原点を基準とすることが必要でしょうか？

例えば，日本にいる2人の位置関係を考えるとき

「市役所ついたけど，いまどこ？」
「えっと，北緯35度，東経140度だよ」
「・・・」

市役所を基準として「市役所の東500mだよ」とかのほうがわかりやすいでしょう
つまり　2点の位置関係を考えるのに　基準となる点はどこでもよい
ということです

都合のよい点を位置ベクトルの基準としてよい

また，平面上(2次元)の点の位置は2つの数の組で表されますが
必ずしも直交座標($${xy}$$平面や東西南北)でなくてもよいでしょう

平行線で作られた次図で$${\vec{p}}$$は・・・
平行線に沿って　右に3，上に4進む

これより　上図の$${\vec{a}}$$と$${\vec{b}}$$の2つのベクトルを用いて
平面上の任意の点の位置ベクトルを表現できるということになります

このように　平面上の任意の点は2つのベクトルを用いて表すことができます（2次元だから　2つで十分です）
ただし，2つのベクトルには条件があって
「平行でない　かつ　大きさが0でない」ことが必要です
この性質を満たす2つのベクトルを　一次独立　といいます

一次独立な2つのベクトルは　次の性質を満たします

カンタンに言えば「他方は一方の実数倍では表せない」というものです
これは「有理数と無理数が満たす性質」「実数と虚数が満たす性質」と類似ていますね

次のものも，この性質を言い換えたものです