【数学】sin x/x　(x→0)

対象：定期試験以上

ここでは　三角関数の極限の公式　$${\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}}$$　について学習しましょう

教科書にもありますが　証明の紹介です
入試で出題されたこともあります(大阪大)

計算問題で確認しましょう

もう1問です

結局のところ使える公式が　$${\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}}$$　しかないので
それが使えるように　式変形していけばよいということになります

さらに図形的なことを言えば
$${x=0 \ で\ \sin x=x=0}$$　であり(つまり　$${\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}}$$が不定形)
かつ　$${x=0 \ における接線の傾きが等しい}$$　ということになります

同じ長さに近づいていくんですよね(左側からなら双方が負の長さ)
だから極限値は1となります

では　$${\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{\frac{\pi}{2}-x}}$$　はどうかというと次図のようになります

やはり　(正負も考慮に入れて)同じ長さに近づいていきます
正弦波の山と谷の間の部分であるので
そりゃ　$${\sin x}$$だろうが$${\cos x}$$だろうが同じです
グラフが見えれば　$${\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{\frac{\pi}{2}-x}=1}$$　ということになるのですが
使える式が　$${\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}}$$　しかありません
したがって　この$${\cos x}$$ のカーブを平行移動して
ということになります
結局　正弦波と　山の中腹での接線　であるので
(2)では分母を1次式に因数分解すれば　実は接線になっているということになります

何も考えずとも　ただ式変形で$${\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}}$$に向けて変形していけば解くことはできますが
図形的に何をやっているかがわかれば　より理解が深まるところでもあります