【数学】3次方程式の実数解の個数

対象：定期試験以上

今回は　3次方程式の解の個数　のお話です

2次方程式の場合には　判別式$${D}$$の正負　で解の個数を判断することができました
しかし　3次方程式の場合には判別式はありません
2次方程式だけが特別だったんですね

3次関数の概形　そして　n次方程式の解について理解できていれば
上の3つであることは理解できると思います

まず優先順位としては　因数定理による因数分解　
因数定理によって解の1つが見つかれば
(3次式)=(1次式)×(2次式)=0　の形になり
あとは　2次式=0　の実数解の個数を考えればよいことになります

因数分解がだめであっても　わかることがあります

例えば
$${f(-1)<0　かつ　f(0)>0　かつ　f(1)<0　かつ　f(2)>0}$$
のような場合です
この場合は　3次関数のグラフの概形を考えれば実数解が3個とわかります
2次関数の解の配置でも出てきたお話であり，理系ならば「中間値の定理」の利用といえばわかるでしょう

簡単に済ませられないのであれば　係数に文字が含まれていて正負が判断できない場合も含め　微分して極大値と極小値の正負を考えることになります
1問練習してみましょう

異なる3つの実数解なので
極大と極小をもち
極大値>0　かつ　極小値<0　となります

「異なる2つの実数解」のときはどうなるでしょうか
考えてみてください

また　$${f(x)=a}$$　のように定数分離ができれば
$${y=f(x) \ と\ y=a}$$の2つのグラフの交点の個数を考えますが
今回は　分離できないので　そのまま議論しています

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